Phép nhân và các tính chất
Phép nhân $a\cdot b=c$ có $a,b$ là các **thừa số**, $c$ là **tích**. Khi $b>0$, tích $a\cdot b$ là tổng của $b$ số hạng bằng $a$.
Phép nhân số tự nhiên có các tính chất:
\[
ab=ba,\qquad (ab)c=a(bc),\qquad a(b+c)=ab+ac.
\]
Các cặp tích $2\cdot5=10$, $4\cdot25=100$, $8\cdot125=1\,000$ thường giúp tính nhẩm nhanh.
Phép chia hết và phép chia có dư
Với $a,b\in\mathbb N$ và $b\ne0$, luôn tìm được đúng hai số tự nhiên $q,r$ sao cho
$$a=bq+r,\qquad 0\le r<b.$$
- Nếu $r=0$, ta có phép chia hết $a:b=q$.
- Nếu $r\ne0$, ta có phép chia có dư $a:b=q$ (dư $r$).
Trong đó $a$ là số bị chia, $b$ là số chia, $q$ là thương và $r$ là số dư. Số dư luôn nhỏ hơn số chia.
Ví dụ: chia và kiểm tra
Thực hiện phép chia $5\,580:157$, được thương $35$ và số dư $85$.
Kiểm tra:
$$157\cdot35+85=5\,495+85=5\,580,$$
đồng thời $0\le85<157$. Vậy
$$5\,580:157=35\text{ (dư }85\text{)}.$$
Cả đẳng thức $a=bq+r$ và điều kiện $r<b$ đều cần được kiểm tra.
Ví dụ: bài toán cần ít nhất bao nhiêu nhóm
Cần xe $45$ chỗ để chở $487$ người. Ta có
$$487:45=10\text{ (dư }37\text{)}.$$
Mười xe chở đủ $450$ người, còn $37$ người cần thêm một xe. Vì vậy cần ít nhất
$$10+1=11\text{ xe}.$$
Trong bài toán “ít nhất”, nếu phép chia còn dư thì phải thêm một nhóm chứa phần còn lại.
Kiểm tra phép chia có dư
Đẳng thức nào mô tả đúng phép chia $137:12$?
Tổng đúng bằng $137$, nhưng số dư $17$ lớn hơn số chia $12$ nên chưa phải kết quả phép chia.
Đúng. Đẳng thức đúng và số dư $5$ nhỏ hơn số chia $12$.
Dạng phép chia có dư phải là $a=bq+r$ với $r\ge0$, không dùng số dư âm.
Số dư $29$ lớn hơn số chia $12$.
Lời giải
Ta có $12\cdot11+5=132+5=137$ và $0\le5<12$. Vậy $137:12=11$ dư $5$. Chọn B.
Bài toán chia nhóm
Có $997$ người, mỗi ghế băng ngồi được $5$ người. Cần ít nhất bao nhiêu ghế băng?
$198$ ghế chỉ có $990$ chỗ, còn thiếu $7$ chỗ.
$199$ ghế có $995$ chỗ, còn thiếu $2$ chỗ.
Đúng. Phép chia còn dư nên cần thêm một ghế.
Số ghế này đủ nhưng không phải số ít nhất.
Lời giải
$997:5=199$ dư $2$. Có $199$ ghế chỉ đủ chỗ cho $995$ người; hai người còn lại cần thêm một ghế. Vậy cần ít nhất $200$ ghế. Chọn C.
Kiến thức cần nhớ
Phép chia phải có số chia khác $0$. Trong phép chia có dư, $a=bq+r$ với $0\le r<b$. Khi chia đối tượng thành các nhóm và đề hỏi số nhóm ít nhất, phải thêm một nhóm nếu còn dư.