Bội chung và bội chung nhỏ nhất
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Tập hợp bội chung của $a,b$ được kí hiệu là $BC(a,b)$.
Bội chung nhỏ nhất là số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp các bội chung, kí hiệu là $BCNN(a,b)$.
Trong bài học này chỉ xét bội chung của các số khác $0$. Số $0$ là một bội chung nhưng không được chọn làm BCNN.
Ví dụ: tìm bằng cách liệt kê
Ta có
$$B(4)=\{0;4;8;12;16;20;24;\ldots\},$$
$$B(6)=\{0;6;12;18;24;30;\ldots\}.$$
Vậy
$$BC(4,6)=\{0;12;24;36;\ldots\},\qquad BCNN(4,6)=12.$$
Số $12$ là bội chung dương nhỏ nhất.
Tìm BCNN bằng phân tích thừa số nguyên tố
Thực hiện ba bước:
1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
2. Chọn tất cả các thừa số nguyên tố chung và riêng.
3. Với mỗi thừa số đã chọn, lấy số mũ lớn nhất rồi lập tích.
Sau khi có BCNN, các bội chung chính là các bội của BCNN.
Ví dụ: tìm BCNN của ba số
Phân tích
$$18=2\cdot3^2,\qquad24=2^3\cdot3,\qquad40=2^3\cdot5.$$
Chọn các thừa số $2,3,5$ với số mũ lớn nhất:
$$BCNN(18,24,40)=2^3\cdot3^2\cdot5=360.$$
Do đó các bội chung là $0,360,720,1\,080,\ldots$
Sự kiện lặp lại sớm nhất
Một máy được bảo dưỡng mỗi $6$ tháng, máy khác mỗi $9$ tháng. Nếu vừa bảo dưỡng cùng lúc, số tháng sớm nhất để hai máy lại cùng được bảo dưỡng là
$$BCNN(6,9)=18.$$
Các bài toán có nhiều chu kì cùng bắt đầu và hỏi lúc cùng lặp lại sớm nhất thường dùng BCNN.
Tìm bội chung nhỏ nhất
$BCNN(6,8)$ bằng bao nhiêu?
$2$ là ước chung, không phải bội chung.
$12$ không chia hết cho $8$.
Đúng. $24$ là bội dương nhỏ nhất của cả $6$ và $8$.
$48$ là bội chung nhưng chưa phải bội chung nhỏ nhất.
Lời giải
$6=2\cdot3$ và $8=2^3$. Lấy các thừa số $2,3$ với số mũ lớn nhất được $BCNN(6,8)=2^3\cdot3=24$. Chọn C.
Chọn số mũ lớn nhất
Cho $a=2^2\cdot3$ và $b=2\cdot3^2\cdot5$. Giá trị $BCNN(a,b)$ là:
Đã bỏ thừa số riêng $5$ và lấy số mũ nhỏ, nên chưa là bội của cả hai số.
Đúng. Mọi thừa số cần thiết đều có số mũ lớn nhất.
Số này bằng $a$ nhưng không chia hết cho $b$.
Đã bỏ một thừa số $2$ và thừa số $5$.
Lời giải
BCNN lấy mọi thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất: $2^2,3^2,5$. Vì vậy $BCNN(a,b)=2^2\cdot3^2\cdot5=180$. Chọn B.
Kiến thức cần nhớ
Tìm BCNN bằng cách chọn tất cả thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất. Các bội chung là bội của BCNN. Bài toán hỏi thời điểm hoặc số bước cùng lặp lại sớm nhất thường dùng BCNN.