Đi liên tiếp hai chặng
Đi từ $A$ đến $B$, rồi từ $B$ đến $C$, độ dời tổng cộng là từ $A$ đến $C$. Cách ghép hai mũi tên này dẫn đến quy tắc cộng vectơ.
Hai quy tắc cộng
Với ba điểm bất kì $A,B,C$:
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$$
Nếu $ABCD$ là hình bình hành, hai vectơ cạnh cùng gốc có tổng là vectơ đường chéo:
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.$$
Phép cộng vectơ có tính giao hoán, kết hợp và $\vec a+\vec0=\vec a$. Ta được đổi thứ tự, nhóm lại để tạo những cặp nối tiếp.
Vận dụng quy tắc ba điểm
Rút gọn $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}$.
Đổi thứ tự để có hai cặp nối tiếp:
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.$$
Điểm cuối của vectơ trước trùng điểm đầu của vectơ sau là dấu hiệu để dùng quy tắc ba điểm.
Vectơ đối và phép trừ
Vectơ đối của $\vec a$ kí hiệu $-\vec a$, có cùng độ dài và ngược hướng nếu $\vec a\ne\vec0$. Đặc biệt $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$.
Ta định nghĩa $\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$. Với hai vectơ cùng gốc $O$:
$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}.$$
Có thể kiểm bằng cách đổi $-\overrightarrow{OA}$ thành $\overrightarrow{AO}$ rồi nối $A\to O\to B$.
Độ dài của tổng không phải tổng độ dài
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$, $AD=4$. Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
Vì tam giác $ADC$ vuông, $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=5$, không phải $3+4=7$. Phải tìm vectơ tổng trước rồi tính độ dài.
Hai đẳng thức hình học quen thuộc
Nếu $I$ là trung điểm $AB$, hai vectơ $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ đối nhau nên tổng bằng $\vec0$.
Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0$. Bài sau sẽ dùng phép nhân vectơ với số để diễn đạt thêm các hệ thức này.
Xác định hiệu hai vectơ
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}$ bằng vectơ nào?
Đúng chiều từ B đến A.
Đã đảo chiều của kết quả.
Còn phải ghép vectơ BM.
Còn phải ghép vectơ MA.
Lời giải
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}$.
Rút gọn tổng và hiệu vectơ
Kết quả của $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ lần lượt là:
Vectơ $\overrightarrow{AA}$ đúng bằng $\vec0$, nhưng hiệu thứ hai phải là $\overrightarrow{CB}$.
Hiệu đã bị đảo chiều.
Tổng ba vectơ tạo đường đi khép kín nên bằng $\vec0$.
Đúng. Tổng tạo đường đi khép kín, còn hiệu bằng vectơ từ C đến B.
Lời giải
Theo quy tắc ba điểm,
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}
=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec0.$$
Mặt khác,
$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}
=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}
=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}.$$
Chọn D.
Những điều cần nhớ
Cộng bằng cách nối đuôi–đầu, hoặc dùng đường chéo hình bình hành khi hai vectơ cùng gốc. Trừ bằng cách cộng vectơ đối. Rút gọn vectơ trước khi tính độ dài.
Đang học