Nhân vectơ với số và phân tích vectơ

Với $\vec a\ne\vec0$ và $k\ne0$, vectơ $k\vec a$ có độ dài $|k||\vec a|$; cùng hướng với $\vec a$ nếu $k>0$, ngược hướng nếu $k<0$. Quy ước $0\vec a=\vec0$ và $k\vec0=\vec0$. Các phép biến đổi quen thuộc vẫn đúng: $$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b,\qquad (k+m)\vec a=k\vec a+m\vec a.$$ Chẳng hạn $2\vec a-3(\vec a-\vec b)=-\vec a+3\vec b$.

Nếu $I$ là trung điểm $AB$, với mọi điểm $O$: $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}.$$ Thật vậy, tách qua $I$: tổng bằng $2\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{OI}$. Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}.$$ Với $M$ là trung điểm $BC$, cũng có $\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AM}$.

Trong mặt phẳng, mỗi vectơ có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng $x\vec u+y\vec v$ nếu $\vec u,\vec v$ không cùng phương. Hai hướng khác nhau cho phép ghép thành những hướng còn lại. Nếu hai vectơ cùng phương, ta không thể biểu diễn mọi vectơ trong mặt phẳng theo chúng.