Một phần tử thuộc những tập nào?
Với $A=\{1;2;3\}$ và $B=\{3;4\}$, số $3$ thuộc cả hai tập, còn số $1$ chỉ thuộc $A$. Giao, hợp và hiệu giúp ta viết ngắn gọn từng nhóm phần tử như vậy.
Ba phép toán thường dùng
| Tập cần tìm | Điều kiện để $x$ thuộc tập | Ví dụ với $A=\{1;2;3\}$, $B=\{3;4\}$ |
|---|---|---|
| $A\cap B$ — giao | $x\in A$ **và** $x\in B$ | $\{3\}$ |
| $A\cup B$ — hợp | $x\in A$ **hoặc** $x\in B$ | $\{1;2;3;4\}$ |
| $A\setminus B$ — hiệu | $x\in A$ **và** $x\notin B$ | $\{1;2\}$ |
“Hoặc” trong phép hợp bao gồm cả trường hợp thuộc hai tập. Hợp không liệt kê lặp lại phần tử chung. Hiệu có xét thứ tự: $B\setminus A=\{4\}$, khác $A\setminus B$.
Tìm giao và hợp trên trục số
![A = [−2;3), B = (1;5]; phần chung là (1;3), hợp là [−2;5].](/static/runtime/learning/math10/set-intervals.a827ff4cd498.png)
Cho $A=[-2;3)$ và $B=(1;5]$.
Giao là phần hai tập cùng có: $x>1$ và $x<3$, nên $A\cap B=(1;3)$. Điểm $1$ bị loại vì không thuộc $B$; điểm $3$ bị loại vì không thuộc $A$.
Hợp gồm mọi điểm từ $-2$ đến $5$ vì hai khoảng chồng lên nhau. Cả $-2$ và $5$ đều được lấy, nên $A\cup B=[-2;5]$.
Có thể đặt từng điểm mút vào hai tập để kiểm tra lại dấu ngoặc.
Hiệu và đầu mút dễ bỏ sót
Vẫn với $A=[-2;3)$, $B=(1;5]$, tập $A\setminus B$ giữ những điểm của $A$ không thuộc $B$. Ta được $[-2;1]$.
Điểm $1$ **được giữ** vì $1\in A$ nhưng $1\notin B$. Ngược lại, $B\setminus A=[3;5]$: điểm $3$ thuộc $B$ mà không thuộc $A$, nên cũng được giữ.
Phần bù cần biết tập đang xét
Nếu $A\subset U$, phần bù của $A$ trong $U$ là $C_UA=U\setminus A$: các phần tử thuộc $U$ nhưng không thuộc $A$.
Với $U=\{1;2;3;4;5\}$, $A=\{2;4\}$, ta có $C_UA=\{1;3;5\}$. Nếu đổi tập $U$, phần bù có thể thay đổi. Vì thế không thể tìm phần bù mà bỏ qua tập đang xét.
Trong $\mathbb R$, phần bù của $[1;4)$ là $(-\infty;1)\cup[4;+\infty)$. Điểm $1$ đã thuộc tập ban đầu nên bị loại; điểm $4$ chưa thuộc nên được lấy.
Hai đoạn chỉ chung đầu mút
Cho $A=[0;2]$, $B=[2;5)$. Giao $A\cap B$ bằng gì?
Hai tập có đúng một phần tử chung.
Điểm 2 được lấy ở cả hai tập.
Đây là hợp, không phải giao.
Những điểm trong (0;2) không thuộc B.
Lời giải
Điểm $2$ thuộc cả hai tập; mọi điểm nhỏ hơn $2$ không thuộc B và mọi điểm lớn hơn $2$ không thuộc A. Vậy giao là $\{2\}$.
Xét các đầu mút khi thực hiện phép toán
Cho $A=(-1;4]$, $B=[2;6)$. Phương án nào đúng?
Điểm 2 và 4 đều thuộc giao; $-1$ không thuộc hợp; 2 không thuộc hiệu; 6 thuộc phần bù.
Đúng. Tất cả bốn phép toán đều xử lí đúng các đầu mút.
Điểm 4 thuộc cả hai tập nên phải thuộc giao; điểm 2 thuộc $B$ nên không thuộc hiệu hay phần bù.
Điểm $-1$ không thuộc $A$; điểm 6 không thuộc $B$ nên phải thuộc phần bù.
Lời giải
Ta xét riêng từng đầu mút:
$$A\cap B=[2;4],\qquad A\cup B=(-1;6),$$
$$A\setminus B=(-1;2),\qquad C_{\mathbb R}B=(-\infty;2)\cup[6;+\infty).$$
Điểm $2$ thuộc $B$ nên bị loại khỏi hiệu và phần bù; điểm $6$ không thuộc $B$ nên thuộc phần bù. Chọn B.
Những điều cần nhớ
Giao dùng “và”, hợp dùng “hoặc”, hiệu giữ phần thuộc tập thứ nhất mà không thuộc tập thứ hai. Sau khi xác định phần trên trục số, kiểm lại từng đầu mút; phần bù luôn gắn với một tập đang xét.
Đang học