Vì sao cộng hai nhóm có thể bị thừa?
Trong một lớp, có học sinh thích cả bóng đá lẫn cầu lông. Nếu cộng số học sinh thích bóng đá với số học sinh thích cầu lông, những học sinh thích cả hai đã được tính hai lần. Sơ đồ Ven giúp ta nhìn rõ phần bị tính lặp này.
Công thức đếm hai tập hữu hạn
Gọi $n(A)$ là số phần tử của tập hữu hạn $A$. Ta có
$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B).$$
Ta trừ phần giao một lần để mỗi phần tử chung chỉ còn được tính một lần. “Thuộc ít nhất một trong hai tập” chính là thuộc hợp; “thuộc cả hai” chính là thuộc giao.
Số phần tử **chỉ thuộc $A$** là $n(A)-n(A\cap B)$. Số phần tử thuộc **đúng một** trong hai tập là $n(A)+n(B)-2n(A\cap B)$.
Điền bốn phần của sơ đồ
Một lớp có $40$ học sinh; $22$ học sinh thích bóng đá, $17$ học sinh thích cầu lông và $8$ học sinh thích cả hai. Gọi $A,B$ là hai tập tương ứng, tập $U$ gồm cả lớp.
- Phần chung có $8$ học sinh.
- Chỉ thích bóng đá: $22-8=14$ học sinh.
- Chỉ thích cầu lông: $17-8=9$ học sinh.
- Thích ít nhất một môn: $14+8+9=31$ học sinh.
- Không thích môn nào trong hai môn: $40-31=9$ học sinh.
Kiểm lại: bốn phần $14+8+9+9=40$ đúng bằng sĩ số lớp. Số học sinh thích đúng một môn là $14+9=23$.
Đọc rõ phần được hỏi
“Không thích môn nào trong hai môn” là phần ngoài $A\cup B$. “Không đồng thời thích cả hai môn” là phần ngoài $A\cap B$, gồm cả những học sinh chỉ thích một môn.
Ở ví dụ trên, hai số lần lượt là $9$ và $40-8=32$, nên không thể dùng thay nhau. Khi đề hỏi “đúng một”, ta bỏ phần giao; khi hỏi “ít nhất một”, ta lấy cả phần giao.
Đúng một môn là phần nào?
Trong ví dụ lớp 40 học sinh, có bao nhiêu học sinh thích đúng một trong hai môn?
Đó là tổng hai phần riêng.
31 còn bao gồm 8 học sinh thích cả hai.
32 là số học sinh không đồng thời thích cả hai, có cả 9 học sinh không thích môn nào.
8 là số học sinh thích cả hai.
Lời giải
Số học sinh thích đúng một môn là $(22-8)+(17-8)=14+9=23$.
Tìm phần giao khi biết phần ngoài
Một nhóm có $36$ học sinh. Có $20$ học sinh đăng kí đọc sách, $15$ học sinh đăng kí cờ vua và $7$ học sinh không đăng kí hoạt động nào trong hai hoạt động.
Số học sinh đăng kí ít nhất một hoạt động là $36-7=29$. Vì thế số đăng kí cả hai là $20+15-29=6$. Ta tìm hợp trước, rồi suy ra giao; không lấy $20+15-36$ vì nhóm còn có $7$ học sinh ở ngoài hợp.
Đếm các phần trong sơ đồ Ven
Lớp có $45$ học sinh; $26$ học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, $18$ học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, $9$ học sinh tham gia cả hai. Số học sinh tham gia đúng một trong hai câu lạc bộ và số học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ lần lượt là:
17 mới là số học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ Toán.
Số tham gia đúng một câu lạc bộ là 26, nhưng số ở ngoài cả hai tập là 10.
35 là số tham gia ít nhất một câu lạc bộ, có gồm 9 học sinh tham gia cả hai.
Đúng. Bốn phần của sơ đồ lần lượt là 17, 9, 9 và 10.
Lời giải
Chỉ tham gia câu lạc bộ Toán có $26-9=17$ học sinh; chỉ tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh có $18-9=9$ học sinh. Vì vậy số học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ là
$$17+9=26.$$
Số học sinh tham gia ít nhất một câu lạc bộ là $26+18-9=35$, nên số không tham gia câu lạc bộ nào là $45-35=10$. Chọn D.
Những điều cần nhớ
Với hai tập hữu hạn, tổng số của hai tập đếm giao hai lần. Sơ đồ có bốn phần giúp ta phân biệt “cả hai”, “đúng một”, “ít nhất một” và “không thuộc tập nào”. Luôn đối chiếu tổng bốn phần với số phần tử của tập đang xét.
Đang học