Từ một điều kiện, ta kết luận được gì?
Nếu một số nguyên chia hết cho $6$, ta biết số đó chia hết cho $3$. Nhưng biết số đó chia hết cho $3$ thì chưa chắc nó chia hết cho $6$: số $9$ là một ví dụ.
Cùng hai khẳng định, đổi chiều suy luận có thể làm thay đổi tính đúng sai. Ta cùng viết rõ từng chiều.
Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề “Nếu $P$ thì $Q$” được kí hiệu $P\Rightarrow Q$; $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận.
Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi **$P$ đúng mà $Q$ sai**. Vì vậy, để chứng minh một khẳng định “Nếu $P$ thì $Q$” đúng với mọi đối tượng đang xét, ta xuất phát từ giả thiết $P$ đúng và suy ra $Q$. Muốn bác bỏ, chỉ cần tìm một trường hợp $P$ đúng nhưng $Q$ sai.
Giải thích một chiều và bác bỏ chiều đảo
Xét các số nguyên $n$. Nếu $n$ chia hết cho $6$ thì $n=6k$ với một số nguyên $k$. Khi đó $n=3(2k)$, nên $n$ chia hết cho $3$.
Mệnh đề đảo là: “Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n$ chia hết cho $6$”. Mệnh đề này sai: chọn $n=9$, giả thiết đúng nhưng kết luận sai. Số $9$ được gọi là một **phản ví dụ**.
Thử vài số chia hết cho $6$ chưa đủ chứng minh chiều đầu cho mọi số nguyên; biểu diễn $n=6k$ giúp ta xét được tất cả các trường hợp.
Điều kiện đủ và điều kiện cần
Khi $P\Rightarrow Q$ đúng, ta nói:
- $P$ là **điều kiện đủ** để có $Q$: có $P$ thì đủ để kết luận $Q$.
- $Q$ là **điều kiện cần** để có $P$: muốn có $P$ thì nhất thiết phải có $Q$.
Trong ví dụ trên, chia hết cho $6$ là điều kiện đủ để chia hết cho $3$; chia hết cho $3$ là điều kiện cần để chia hết cho $6$. “Cần” không có nghĩa là đã đủ: số $9$ vẫn cho thấy điều đó.
Xác định điều kiện cần, điều kiện đủ
Với số nguyên $n$, phát biểu nào đúng?
Đây là đúng chiều kéo theo đã chứng minh.
Số 9 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6.
Chia hết cho 3 không bắt buộc phải chia hết cho 6.
Chiều đảo sai nên không tương đương.
Lời giải
Ta có “chia hết cho $6$” $\Rightarrow$ “chia hết cho $3$”. Vế trước là điều kiện đủ cho vế sau.
Mệnh đề tương đương cần đúng cả hai chiều
Khi cả $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng, ta có $P\Leftrightarrow Q$. Có thể đọc là “$P$ khi và chỉ khi $Q$”, hoặc “$P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$”.
Ví dụ, với số thực $x$: $x=2\Leftrightarrow x-2=0$. Chiều thuận là thay $x=2$; chiều đảo là cộng $2$ vào hai vế của $x-2=0$.
Còn $x=2\Rightarrow x^2=4$ đúng nhưng chiều đảo sai vì $x=-2$ cũng có $x^2=4$. Phải viết $x^2=4\Leftrightarrow x=2$ **hoặc** $x=-2$.
Xét mệnh đề và mệnh đề đảo
Với số nguyên $n$, xét mệnh đề: “Nếu $n$ chia hết cho $4$ thì $n$ chẵn”. Kết luận nào đúng?
Việc tồn tại số chẵn không chia hết cho 4 bác bỏ chiều đảo, không bác bỏ chiều thuận.
Đúng. Chiều thuận được chứng minh cho mọi số nguyên, còn 6 là phản ví dụ cho chiều đảo.
Số 6 cho thấy mệnh đề đảo sai.
Số 8 chia hết cho 4 nên không phải phản ví dụ cho mệnh đề đảo.
Lời giải
Nếu $n=4k$ với $k\in\mathbb Z$ thì $n=2(2k)$, nên $n$ chẵn. Mệnh đề thuận đúng.
Mệnh đề đảo là: “Nếu $n$ chẵn thì $n$ chia hết cho $4$”. Mệnh đề này sai vì $n=6$ chẵn nhưng không chia hết cho $4$. Do đó hai điều kiện không tương đương. Chọn B.
Những điều cần nhớ
Với chiều đúng $P\Rightarrow Q$, $P$ là điều kiện đủ và $Q$ là điều kiện cần. Muốn kết luận tương đương, xét thêm chiều đảo. Một phản ví dụ đủ bác bỏ khẳng định tổng quát, còn vài ví dụ đúng chưa đủ chứng minh nó.
Đang học