“Mọi” khác “có ít nhất một”
“Mọi số thực đều có bình phương không âm” nói về tất cả số thực. “Có một số thực có bình phương bằng $9$” chỉ cần tìm được ít nhất một số phù hợp. Hai cách nói này tương ứng với hai kí hiệu thường gặp trong Toán.
Kí hiệu và miền đang xét
$\forall x\in A,P(x)$ đọc là “Với mọi $x$ thuộc $A$, ta có $P(x)$”.
$\exists x\in A,P(x)$ đọc là “Tồn tại ít nhất một $x$ thuộc $A$ sao cho $P(x)$”. Tồn tại không có nghĩa là duy nhất.
Ta luôn đọc cả tập $A$. Chẳng hạn $\exists x\in\mathbb R,x^2=2$ đúng vì có $x=\sqrt2$, nhưng $\exists x\in\mathbb Z,x^2=2$ sai: nếu $|x|\le1$ thì $x^2\le1$, còn nếu $|x|\ge2$ thì $x^2\ge4$.
Cách xác định tính đúng sai
1. $\forall x\in\mathbb R,x^2\ge0$ đúng, theo tính chất bình phương của số thực.
2. $\forall x\in\mathbb R,x^2>0$ sai: $x=0$ là phản ví dụ.
3. $\exists n\in\mathbb Z,n^2=16$ đúng, vì $n=4$ thỏa mãn. Có thêm $n=-4$ không làm mệnh đề sai.
4. $\exists x\in\mathbb R,x^2=-1$ sai, vì bình phương của mọi số thực đều không âm.
Để khẳng định “mọi” đúng, cần lập luận cho toàn miền. Để khẳng định “tồn tại” đúng, tìm được một giá trị phù hợp là đủ.
Phủ định lượng từ và điều kiện
Phủ định “mọi phần tử đều có tính chất $P$” là “có ít nhất một phần tử không có tính chất $P$”. Phủ định “tồn tại phần tử có tính chất $P$” là “mọi phần tử đều không có tính chất $P$”.
$$\overline{\forall x\in A,P(x)}:\quad \exists x\in A,\overline{P(x)}.$$
$$\overline{\exists x\in A,P(x)}:\quad \forall x\in A,\overline{P(x)}.$$
Ta giữ nguyên miền $A$, đổi $\forall$ với $\exists$, rồi phủ định điều kiện phía sau.
Phủ định mệnh đề chứa lượng từ
Phủ định $\forall x\in\mathbb R,x^2\ge x$:
- Giữ miền số thực và đổi “mọi” thành “tồn tại”.
- Phủ định $x^2\ge x$ thành $x^2<x$.
Vậy phủ định là $\exists x\in\mathbb R,x^2<x$. Mệnh đề phủ định đúng: chọn $x=\frac12$, ta có $\frac14<\frac12$. Do đó mệnh đề ban đầu sai.
Chọn phủ định đúng
Phủ định của $\exists n\in\mathbb Z,n^2=5$ là gì?
Đủ cả ba việc: đổi lượng từ, đổi điều kiện, giữ miền.
Còn thiếu phủ định dấu bằng.
Còn thiếu đổi lượng từ tồn tại sang mọi.
Miền đã bị đổi từ số nguyên sang số thực.
Lời giải
Phủ định là $\forall n\in\mathbb Z,n^2\ne5$. Cả lượng từ lẫn điều kiện đều được phủ định, còn miền số nguyên giữ nguyên.
Phủ định mệnh đề có lượng từ
Phủ định của $\forall n\in\mathbb N,\ n+1>n$ là mệnh đề nào và có tính đúng sai ra sao?
Cần đổi “mọi” thành “tồn tại”.
Miền phải giữ là $\mathbb N$, không đổi thành $\mathbb Z$.
Phủ định của dấu $>$ là $\le$, có cả trường hợp bằng.
Đúng. Đã đổi lượng từ, giữ miền và phủ định đúng điều kiện.
Lời giải
Giữ miền $\mathbb N$, đổi lượng từ $\forall$ thành $\exists$ và phủ định $>$ thành $\le$. Phủ định là
$$\exists n\in\mathbb N,\ n+1\le n.$$
Mệnh đề này sai vì $(n+1)-n=1>0$ với mọi $n\in\mathbb N$. Chọn D.
Những điều cần nhớ
Đọc rõ miền và lượng từ trước khi xét điều kiện. Phủ định có ba việc: giữ miền, đổi lượng từ, phủ định điều kiện. “Tồn tại” chỉ yêu cầu ít nhất một trường hợp, không yêu cầu đúng một trường hợp.
Đang học