Tập hợp, tập con và các khoảng trên trục số

Đặt $A=\{-1;0;1;2\}=\{x\in\mathbb Z\mid -1\le x<3\}$. Kí hiệu $1\in A$ nghĩa là $1$ là phần tử của $A$; $3\notin A$ nghĩa là $3$ không thuộc $A$. Thứ tự liệt kê không làm thay đổi tập hợp; mỗi phần tử chỉ được tính một lần. Chẳng hạn $\{1;2;1\}=\{1;2\}$ có hai phần tử. Tập không có phần tử nào là tập rỗng $\varnothing$. Tập $\{0\}$ có một phần tử là số $0$, nên **khác tập rỗng**.

$A\subset B$ nghĩa là mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$; theo kí hiệu dùng trong SGK, quan hệ này cho phép $A=B$. Ta có $\varnothing\subset A$ và $A\subset A$ với mọi tập $A$. Hai tập bằng nhau khi chúng có cùng các phần tử; tương đương $A\subset B$ và $B\subset A$. Với $B=\{0;1;2\}$, ta viết $1\in B$ và $\{1\}\subset B$. Vế trái của kí hiệu $\in$ là một phần tử; trong ví dụ này, vế trái của $\subset$ là một tập hợp. Không thay hai kí hiệu cho nhau.

Ta có $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$. Trong bài học này, $\mathbb N=\{0;1;2;\ldots\}$ và $\mathbb N^*=\{1;2;3;\ldots\}$. Số hữu tỉ viết được dưới dạng $\frac ab$ với $a,b\in\mathbb Z$, $b\ne0$. Số thực không hữu tỉ là số vô tỉ, chẳng hạn $\sqrt2$. Vì vậy $\sqrt2\in\mathbb R$ nhưng $\sqrt2\notin\mathbb Q$.

Với $a<b$, các tập dưới đây đều gồm **số thực**: | Kí hiệu | Điều kiện của $x$ | |---|---| | $(a;b)$ | $a<x<b$ | | $[a;b]$ | $a\le x\le b$ | | $[a;b)$ | $a\le x<b$ | | $(a;b]$ | $a<x\le b$ | | $(-\infty;b]$ | $x\le b$ | | $(a;+\infty)$ | $x>a$ | Ngoặc vuông cho biết có lấy đầu mút; ngoặc tròn cho biết không lấy. $\pm\infty$ không phải số thực và luôn đi với ngoặc tròn. Trên hình dưới, chấm đặc là lấy đầu mút, chấm rỗng là không lấy.