Trên hay dưới trục hoành?
Giá trị $f(x)$ dương khi điểm trên đồ thị nằm phía trên trục $Ox$, âm khi nằm phía dưới. Các nghiệm của $f(x)=0$ là nơi parabol gặp trục hoành.
Ba trường hợp của tam thức
Cho $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\ne0$, $\Delta=b^2-4ac$.
| Trường hợp | Dấu của $f(x)$ |
|---|---|
| $\Delta<0$ | Luôn cùng dấu với $a$ |
| $\Delta=0$, nghiệm kép $x_0$ | Bằng $0$ tại $x_0$, cùng dấu với $a$ ở các điểm khác |
| $\Delta>0$, hai nghiệm $x_1<x_2$ | Cùng dấu với $a$ ở ngoài hai nghiệm, trái dấu với $a$ ở giữa, bằng $0$ tại hai nghiệm |
Quy tắc “ngoài cùng, trong trái” chỉ áp dụng khi có **hai nghiệm phân biệt**.
Hai nghiệm phân biệt
Với $f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, hệ số $a=1>0$, hai nghiệm $1,3$.
| $x$ | $(-\infty;1)$ | $1$ | $(1;3)$ | $3$ | $(3;+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Do đó $f(x)<0$ có nghiệm $(1;3)$, còn $f(x)\ge0$ có nghiệm $(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$. Dấu có bằng quyết định việc lấy các nghiệm ở đầu khoảng.
Khi hệ số đầu âm
Giải $-x^2+5x-6>0$. Hai nghiệm của tam thức là $2,3$, hệ số đầu âm nên tam thức dương ở giữa hai nghiệm. Tập nghiệm là $(2;3)$.
Cũng có thể nhân hai vế với $-1$ để được $x^2-5x+6<0$, nhưng phải **đổi chiều** bất phương trình.
Nghiệm kép và không có nghiệm
$x^2-2x+1=(x-1)^2$ không âm với mọi $x$. Vì vậy $(x-1)^2<0$ vô nghiệm; $(x-1)^2\le0$ chỉ có $x=1$; $(x-1)^2>0$ có mọi $x\ne1$.
Tam thức $x^2+1$ có $\Delta<0$ và $a>0$, luôn dương. Vì vậy $x^2+1>0$ có tập nghiệm $\mathbb R$, còn $x^2+1\le0$ vô nghiệm.
Cách làm một bất phương trình
Chuyển tất cả về một vế để so với $0$, thu gọn rồi xác định hệ số đầu và nghiệm của tam thức. Lập dấu hoặc đọc từ đồ thị, chọn những khoảng đúng dấu đề hỏi. Cuối cùng xét việc lấy đầu mút và các điều kiện riêng của bài toán.
Xét các đầu mút của tập nghiệm
Tập nghiệm của $x^2-5x+6\le0$ là gì?
Đủ cả khoảng giữa và hai đầu mút.
Hai nghiệm làm tam thức bằng $0$ cũng phải được lấy.
Đây là miền tam thức không âm.
Các giá trị giữa hai nghiệm cũng làm tam thức không dương.
Lời giải
Hai nghiệm là $2$ và $3$; tam thức âm ở giữa và bằng $0$ tại hai đầu, nên tập nghiệm là $[2;3]$.
Giải bất phương trình bậc hai
Tập nghiệm của bất phương trình $2x^2-3x-2\ge0$ là
Tam thức không âm ở phía ngoài hai nghiệm, không phải ở giữa.
Khoảng giữa hai nghiệm là nơi tam thức âm.
Dấu bất phương trình cho phép lấy cả hai nghiệm.
Đúng: chọn hai khoảng phía ngoài và lấy hai đầu mút.
Lời giải
Ta có
$$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2),$$
nên tam thức có hai nghiệm $-\dfrac12$ và $2$. Hệ số của $x^2$ dương nên tam thức không âm ở ngoài khoảng giữa hai nghiệm. Dấu $\ge$ cho phép lấy cả hai nghiệm. Vậy tập nghiệm là
$$(-\infty;-\dfrac12]\cup[2;+\infty).$$
Những điều cần nhớ
Kiểm số nghiệm trước khi dùng quy tắc dấu. Dấu của $a$ quyết định dấu của tam thức ở phía ngoài hai nghiệm; dấu bất phương trình quyết định chọn khoảng nào và có lấy các điểm làm tam thức bằng $0$ hay không.
Đang học