Vì sao bình phương xong vẫn phải thử?
Hai số đối nhau có bình phương bằng nhau, nên bình phương có thể tạo thêm giá trị không thỏa phương trình gốc. Với phương trình chứa căn, ta giải phương trình nhận được rồi thử lại từng giá trị.
Hai dạng cơ bản
Ta xét $\sqrt{A(x)}=\sqrt{B(x)}$ và $\sqrt{A(x)}=mx+n$, trong đó việc bình phương đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
1. Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.
2. Thay từng giá trị tìm được vào phương trình ban đầu, kiểm tra các căn có nghĩa và hai vế bằng nhau.
Chỉ nhận những giá trị thỏa mãn phương trình ban đầu.
Hai vế đều là căn
Giải $\sqrt{x^2-3x+1}=\sqrt{2x-3}$.
Bình phương hai vế cho $x^2-3x+1=2x-3$, tức $(x-1)(x-4)=0$. Ta có hai giá trị cần thử $1,4$.
- Với $x=1$, hai biểu thức dưới căn đều bằng $-1$, nên loại.
- Với $x=4$, hai vế đều bằng $\sqrt5$, nên nhận.
Phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$. Hai biểu thức dưới căn bằng nhau chưa đủ nếu chúng âm.
Một vế là biểu thức bậc nhất
Giải $\sqrt{x+2}=x$.
Bình phương cho $x+2=x^2$, tức $(x-2)(x+1)=0$. Thử $x=2$: $\sqrt4=2$, nhận. Thử $x=-1$: vế trái $\sqrt1=1$, vế phải $-1$, không bằng nhau nên loại.
Vậy nghiệm là $x=2$. Căn bậc hai số học không âm, nên một vế phải âm không thể bằng nó.
Phương trình có căn của tam thức
Giải $\sqrt{2x^2-3x+1}=x-1$.
Bình phương cho $2x^2-3x+1=(x-1)^2$, suy ra $x^2-x=0$, nên thử $x=0$ hoặc $x=1$.
Với $x=0$, hai vế là $1$ và $-1$, loại. Với $x=1$, hai vế đều bằng $0$, nhận. Tập nghiệm là $\{1\}$.
Dùng điều kiện khi giúp bài ngắn hơn
Có thể nhận ra ngay một điều kiện đơn giản, chẳng hạn $x\ge0$ trong $\sqrt{x+2}=x$, để loại sớm giá trị âm. Tuy nhiên, không cần giải một hệ điều kiện dài trước nếu chỉ cần thử vài giá trị vào phương trình gốc.
Không viết dấu tương đương cho bước bình phương khi chưa bảo đảm các điều kiện; hãy viết “bình phương hai vế, ta được…” rồi thử lại.
Giá trị nào phải loại?
Sau khi bình phương $\sqrt{x+6}=x$, tìm được $x=3$ hoặc $x=-2$. Nghiệm nào được nhận?
Đã thử lại và loại nghiệm sai dấu.
−2 không thỏa phương trình gốc.
−2 làm hai vế trái dấu.
3 thỏa phương trình.
Lời giải
Với $x=3$, hai vế đều bằng $3$, nên nhận. Với $x=-2$, vế trái bằng $2$ còn vế phải bằng $-2$, nên loại. Vậy phương trình chỉ có nghiệm $x=3$.
Giải phương trình chứa căn
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{x+4}$ là
$x=-1$ cũng làm hai căn có nghĩa và bằng nhau.
Đúng: cả $-1$ và $4$ đều thỏa phương trình ban đầu.
$x=4$ cũng thỏa phương trình ban đầu.
Phương trình có hai nghiệm thực.
Lời giải
Bình phương hai vế, ta được
$$x^2-2x=x+4\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-3x-4=0
\quad\Longleftrightarrow\quad (x-4)(x+1)=0.$$
Với $x=4$, hai vế của phương trình ban đầu đều bằng $\sqrt8$. Với $x=-1$, hai vế đều bằng $\sqrt3$. Cả hai giá trị đều được nhận, nên tập nghiệm là $\{-1;4\}$.
Những điều cần nhớ
Bình phương giúp tìm ứng viên; phương trình ban đầu quyết định nghiệm. Kiểm cả điều kiện có nghĩa lẫn dấu và giá trị của hai vế. Không phải mọi nghiệm âm của $x$ đều bị loại.
Đang học