Tọa độ điểm và vectơ trong Oxyz

Từ hình học sang ba con số

Hệ $Oxyz$ gồm ba trục đôi một vuông góc, có chung gốc $O$. Các vectơ đơn vị $\vec i,\vec j,\vec k$ lần lượt hướng theo chiều dương của ba trục, cùng có độ dài $1$.

Điểm M(2;3;2) và hình chiếu H(2;3;0) trên mặt phẳng Oxy.

Điểm $M(x;y;z)$ được xác định bởi $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$. Ta gọi $x,y,z$ là hoành độ, tung độ, cao độ. Một tọa độ âm có nghĩa là thành phần ấy đi theo chiều âm của trục. Tương tự, $\vec u=(a;b;c)$ nghĩa là $\vec u=a\vec i+b\vec j+c\vec k$. Tọa độ điểm mô tả vị trí; tọa độ vectơ mô tả độ dịch chuyển. Hai vectơ bằng nhau khi cả ba tọa độ tương ứng bằng nhau.

Hình chiếu trên trục và mặt phẳng tọa độ

Khi chiếu vuông góc, ta giữ các tọa độ theo phương nằm trong nơi nhận hình chiếu, thay các tọa độ còn lại bằng $0$. | Nơi nhận hình chiếu của $M(x;y;z)$ | Tọa độ hình chiếu | |---|---| | Trục $Ox$ | $(x;0;0)$ | | Trục $Oy$ | $(0;y;0)$ | | Trục $Oz$ | $(0;0;z)$ | | Mặt phẳng $(Oxy)$ | $(x;y;0)$ | | Mặt phẳng $(Oyz)$ | $(0;y;z)$ | | Mặt phẳng $(Oxz)$ | $(x;0;z)$ | Ví dụ, thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nghĩa là $z=0$, còn thuộc trục $Ox$ nghĩa là đồng thời $y=z=0$.

Tính vectơ từ điểm đầu đến điểm cuối

Cho $A(1;2;3)$, $B(4;-1;5)$. Tìm $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$. Từ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, ta lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu: $$\overrightarrow{AB}=(4-1;-1-2;5-3)=(3;-3;2).$$ Đảo chiều thì đổi dấu cả ba tọa độ: $\overrightarrow{BA}=(-3;3;-2)$. Có thể kiểm lại: hai vectơ này cộng với nhau bằng $\vec0$.

Nhận ra hình chiếu

Hình chiếu vuông góc của $M(2;-3;4)$ lên $(Oxy)$ là điểm nào?

A$(0;0;4)$B$(2;0;4)$C$(2;-3;0)$D$(0;-3;4)$

Chọn tọa độ cho hình hộp chữ nhật

Một phòng dạng hình hộp chữ nhật dài $6$ m, rộng $4$ m, cao $3$ m. Chọn $O$ là một góc sàn, các chiều dương $Ox,Oy,Oz$ theo chiều dài, chiều rộng, chiều cao vào trong phòng. Đỉnh trần đối diện $O$ có tọa độ $(6;4;3)$. Tâm trần nằm ở giữa theo chiều dài và chiều rộng, vẫn có độ cao $3$ m, nên có tọa độ $(3;2;3)$. Ba trục phải vuông góc và dùng cùng đơn vị. Không chọn ba cạnh xiên bất kỳ của hình hộp làm hệ trục vuông góc.

Tìm điểm cuối

Cho $A(2;-1;4)$ và $\overrightarrow{AB}=(-3;5;2)$. Tìm $B$.

A$B=A-\overrightarrow{AB}=(5;-6;2)$.B$B=(-1;5;6)$.C$B=(-3;5;2)$ vì tọa độ điểm cuối bằng tọa độ vectơ $AB$.DTừ $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$, ta được $B(2-3;-1+5;4+2)=B(-1;4;6)$.

Đổi thứ tự hai điểm

Cho $A(-2;0;1)$, $B(3;4;-1)$. Tính $\overrightarrow{BA}$.

A$\overrightarrow{BA}=(5;4;-2)$.B$\overrightarrow{BA}=(-1;-4;0)$.CLấy A trừ B: $\overrightarrow{BA}=(-2-3;0-4;1-(-1))=(-5;-4;2)$.D$\overrightarrow{BA}=(-5;-4;0)$ vì hai cao độ triệt tiêu.

Đọc biểu thức theo vectơ đơn vị

Viết tọa độ của $2\vec i-\vec j+3\vec k$ và tìm hình chiếu của điểm có tọa độ ấy lên $Oz$.

AVectơ có tọa độ $(2;-1;3)$. Điểm tương ứng có hình chiếu lên Oz là $(0;0;3)$.BVectơ $(2;1;3)$; hình chiếu lên $Oz$ là $(0;0;3)$.CVectơ $(2;-1;3)$; hình chiếu lên $Oz$ là $(2;-1;0)$.DHình chiếu lên $Oz$ là $(0;-1;0)$.

Nhận biết điểm trên trục

Một điểm có tọa độ $(0;5;0)$ thuộc trục nào? Nó có thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ không?

AĐiểm thuộc $Ox$ và thuộc $(Oxz)$ vì tung độ bằng $5$.BĐiểm thuộc $Oy$ nhưng không thuộc $(Oxy)$ vì tung độ khác $0$.CĐiểm chỉ thuộc $Oy$, không thuộc mặt phẳng tọa độ nào.DĐiểm thuộc trục Oy vì hoành độ và cao độ đều bằng 0. Nó cũng thuộc mặt phẳng Oxy vì cao độ bằng 0.

Điều cần nhớ

Với $\overrightarrow{AB}$, luôn lấy **B trừ A**. Với hình chiếu, xác định đúng trục hoặc mặt phẳng nhận hình chiếu rồi mới bỏ tọa độ.