Mỗi tọa độ được tính riêng
Với $\vec u=(a;b;c)$, $\vec v=(d;e;f)$ và số thực $k$:
$$\vec u+\vec v=(a+d;b+e;c+f),$$
$$\vec u-\vec v=(a-d;b-e;c-f),$$
$$k\vec u=(ka;kb;kc).$$
Các phép toán được thực hiện theo từng tọa độ tương ứng. Khi trừ một tọa độ âm, cần đặt số đó trong ngoặc để tránh sai dấu.
Tính một tổ hợp vectơ
Cho $\vec u=(1;-2;3)$, $\vec v=(4;0;-1)$. Tính $\vec u+\vec v$ và $2\vec u-\vec v$.
Cộng từng cặp tọa độ được $\vec u+\vec v=(5;-2;2)$. Với biểu thức thứ hai, ta tính $2\vec u=(2;-4;6)$ trước, rồi trừ $\vec v$:
$$2\vec u-\vec v=(2-4;-4-0;6-(-1))=(-2;-4;7).$$
Nhân với một số
Cho $\vec u=(1;-2;3)$. Vectơ $2\vec u$ bằng
mới nhân tọa độ thứ nhất.
Tọa độ thứ nhất cũng cần nhân với 2.
Nhân vectơ với 2 không phải cộng 2 vào mỗi tọa độ.
Đúng: cả ba tọa độ đều được nhân với 2.
Lời giải
$2\vec u=(2\cdot1;2\cdot(-2);2\cdot3)=(2;-4;6)$.
Trung điểm, trọng tâm và cùng phương
Tọa độ trung điểm $M$ của $AB$ là trung bình cộng từng cặp tọa độ của $A,B$. Chẳng hạn $x_M=(x_A+x_B)/2$; tương tự với $y,z$.
Với tam giác $ABC$, tọa độ trọng tâm $G$ là trung bình cộng tọa độ ba đỉnh: $x_G=(x_A+x_B+x_C)/3$; tương tự với $y,z$. Hai công thức này xuất phát từ các đẳng thức vectơ về trung điểm, trọng tâm.
Để kiểm tra $\vec u$ cùng phương với $\vec v\ne\vec0$, ta tìm xem có số $k$ để $\vec u=k\vec v$ hay không. Hệ số ấy phải đúng cho **cả ba tọa độ**. Cách này tránh chia cho một tọa độ bằng $0$.
Ba điểm phân biệt $A,B,C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.
Tìm trung điểm và trọng tâm
Cho $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(0;3;0)$. Tìm trung điểm $M$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
Ta có $M(3;0;0)$, vì lấy trung bình hai tọa độ tương ứng. Với trọng tâm, ta lấy trung bình ba tọa độ:
$$G\left(\frac{0+6+0}{3};\frac{0+0+3}{3};0\right)=G(2;1;0).$$
Nếu biết $A,B,G$ và cần tìm $C$, ta làm ngược lại: $x_C=3x_G-x_A-x_B$, tương tự với $y,z$.
Kiểm tra cùng phương
Cho $\vec u=(2;0;-4)$, $\vec v=(-1;0;2)$. Hai vectơ có cùng phương không?
Không cần chia các thành phần bằng $0$; đẳng thức $\vec u=-2\vec v$ đã chứng minh cùng phương.
Hệ số đúng là $-2<0$, nên hai vectơ ngược hướng.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Tích vô hướng khác $0$ không cho vuông góc; hơn nữa hai vectơ là bội của nhau.
Lời giải
Có, vì $\vec u=-2\vec v$. Chúng ngược hướng do hệ số $-2<0$. Không cần viết tỉ số $0/0$.
Tìm đầu mút qua trung điểm
Trung điểm của $AB$ là $M(1;2;3)$, biết $A(-1;0;2)$. Tìm $B$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Từ công thức trung điểm, $A+B=2M$, nên $B=2M-A$.
Cao độ là $2\cdot3-2=4$, không phải $5$.
Tọa độ trung điểm là trung bình của tọa độ hai đầu, không buộc hai điểm đối nhau qua gốc.
Lời giải
Từ $B=2M-A$ theo từng tọa độ, ta được $B(3;4;4)$. Trung bình với A đúng bằng M.
Hoàn thành hình bình hành
Cho $A(0;0;0)$, $B(2;1;0)$, $C(3;4;1)$. Tìm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành theo thứ tự đã cho.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Với thứ tự $ABCD$, ta có $A+C=B+D$, nên $D=A+C-B$.
Công thức này không khép đúng hình bình hành theo thứ tự đã cho.
Cao độ phải là $0+1-0=1$.
Lời giải
Vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, ta có $D=A+C-B=(1;3;1)$. Ba điểm A,B,C không thẳng hàng nên hình bình hành không suy biến.
Cùng phương phải đúng cả ba tọa độ
Ba điểm $A(0;0;0)$, $B(1;2;0)$, $C(2;4;1)$ có thẳng hàng không?
Cao độ không cùng tỉ lệ: $2\overrightarrow{AB}$ có thành phần thứ ba bằng $0$, không phải $1$.
Tích vô hướng khác $0$ chỉ loại vuông góc, không phải tiêu chuẩn loại thẳng hàng.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Dấu tọa độ không quyết định thẳng hàng; cần kiểm hai vectơ có cùng phương hay không.
Lời giải
Không. Nếu $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ thì tọa độ thứ nhất cho $k=2$, nhưng tọa độ thứ ba sẽ là $0$, khác $1$.
Điều cần nhớ
Tọa độ giúp chuyển quan hệ hình học thành ba phép tính hoặc ba phương trình. Vẫn cần kiểm tra điều kiện hình học: tam giác có ba đỉnh không thẳng hàng, vectơ dùng để so hệ số phải khác vectơ không.
Đang học