Tích vô hướng là một số
Với hai vectơ khác $\vec0$, chuyển chúng về chung điểm đầu để xác định góc $\theta$ từ $0^\circ$ đến $180^\circ$. Ta định nghĩa:
$$\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\theta.$$
Nếu có vectơ không, tích vô hướng bằng $0$. Trong hệ tọa độ vuông góc, với $\vec u=(a;b;c)$, $\vec v=(d;e;f)$:
$$\vec u\cdot\vec v=ad+be+cf.$$
Kết quả là một **số**, không phải bộ ba tọa độ. Tích vô hướng có tính giao hoán, phân phối đối với phép cộng; $\vec u\cdot\vec u=|\vec u|^2$.
Từ tích vô hướng đến độ dài và góc
Độ dài của $\vec u=(a;b;c)$ là $|\vec u|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Khoảng cách hai điểm $A,B$ chính là độ dài của $\overrightarrow{AB}$.
Với hai vectơ khác $\vec0$:
$$\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}.$$
Tích vô hướng bằng $0$ khi hai vectơ vuông góc. Nếu nó dương thì góc nhỏ hơn $90^\circ$; nếu âm thì góc lớn hơn $90^\circ$.
Ở bài này ta tính **góc giữa hai vectơ**. Đừng tự thêm dấu giá trị tuyệt đối vào tử số: làm vậy có thể biến một góc tù thành góc nhọn.
Xét vuông góc và tính độ dài
Cho $\vec u=(2;-1;3)$ và $\vec v=(-1;4;2)$. Ta có:
$$\vec u\cdot\vec v=2(-1)+(-1)4+3\cdot2=0.$$
Hai vectơ đều khác vectơ không, nên chúng vuông góc. Độ dài $|\vec u|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$. Chú ý: $14$ là bình phương độ dài, chưa phải độ dài.
Tính độ dài
Vectơ $\vec u=(2;-2;1)$ có độ dài bằng bao nhiêu?
Đã tìm bình phương độ dài, còn thiếu bước lấy căn.
Đúng: căn bậc hai của 9 bằng 3.
Bình phương của −2 là 4; tổng ba bình phương là 9.
Độ dài không bằng tổng các tọa độ.
Lời giải
$|\vec u|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt9=3$.
Một góc tù giữa hai vectơ
Cho $\vec u=(1;0;0)$, $\vec v=(-1;1;0)$. Tính góc giữa chúng.
Ta có $\vec u\cdot\vec v=-1$, $|\vec u|=1$, $|\vec v|=\sqrt2$. Do đó $\cos\theta=-1/\sqrt2$ và $\theta=135^\circ$.
Khi tính góc $\widehat{BAC}$ của tam giác, ta dùng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, vì chúng cùng xuất phát từ đỉnh A. Dùng nhầm $\overrightarrow{BA}$ sẽ đổi dấu cosin.
Tính khoảng cách hai điểm
Cho $A(1;-2;4)$, $B(4;2;4)$. Tính $AB$.
Độ dài trong không gian dùng căn tổng bình phương các thành phần, không dùng tổng trị tuyệt đối.
Phải bình phương từng thành phần trước khi cộng.
Tổng bình phương bằng $25$; độ dài là căn bậc hai, bằng $5$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
$\overrightarrow{AB}=(3;4;0)$ nên $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
Tìm tham số để vuông góc
Tìm $m$ để $\vec u=(1;m;2)$ vuông góc với $\vec v=(2;1;-1)$.
Tích cuối là $2\cdot(-1)=-2$, nên tổng chỉ còn $m$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Vuông góc phải thỏa tích vô hướng bằng $0$, không dựa vào việc các thành phần khác nhau.
Hai vectơ khác không là điều kiện để nói góc; chúng vẫn có thể vuông góc khi $m=0$.
Lời giải
Tích vô hướng bằng $2+m-2=m$. Hai vectơ luôn khác vectơ không, nên điều kiện là $m=0$.
Góc tại một đỉnh tam giác
Cho $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$. Tính $\widehat{BAC}$.
Góc tại $A$ dùng hai vectơ $AB=(1;0;0)$ và $AC=(1;1;0)$, không vuông góc.
Còn phải chia cho tích độ dài; cosin bằng $1/\sqrt2$, ứng với $45^\circ$.
Góc $BAC$ phải dùng hai vectơ cùng gốc $A$: $AB$ và $AC$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
$\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$. Cosin góc A bằng $1/\sqrt2$, nên góc A bằng $45^\circ$.
Độ dài của tổng
Cho $|\vec u|=3$, $|\vec v|=4$ và $\vec u\perp\vec v$. Tính $|\vec u+\vec v|$.
Chỉ cộng độ dài khi hai vectơ cùng hướng; ở đây chúng vuông góc.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Căn của $25$ bằng $5$, không phải $25$.
Hiệu độ dài xuất hiện khi hai vectơ ngược hướng; ở đây chúng vuông góc.
Lời giải
Bình phương độ dài bằng $|\vec u|^2+2\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^2=9+0+16=25$. Vậy độ dài bằng 5, không phải $3+4=7$.
Điều cần nhớ
Có thể làm theo thứ tự: tính tích vô hướng, tính hai độ dài, rồi mới tính cosin. Trước khi chia, kiểm tra hai vectơ khác vectơ không. Nếu kết quả góc cần tính bằng độ trên máy tính, chọn chế độ DEG.
Đang học