Một nhóm không đổi khi đổi cách gọi tên
Chọn An và Bình vào cùng một nhóm cũng là chọn Bình và An. Nếu không phân nhiệm vụ, hai cách kể tên chỉ là một kết quả.
Một **tổ hợp chập k của n** là một tập con gồm k phần tử của tập có n phần tử. Với n,k nguyên và 0≤k≤n:
$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$
Mỗi nhóm k người có k! thứ tự. Vì vậy số chỉnh hợp bằng số tổ hợp nhân k!: $A_n^k=k!C_n^k$ khi 1≤k≤n.
Chọn hai người từ bảy người
Chọn một nhóm 2 người từ 7 người. Nếu lần lượt gọi người thứ nhất và thứ hai, có 7·6=42 cách gọi. Mỗi nhóm bị gọi hai lần theo hai thứ tự.
Do đó số nhóm là $C_7^2=42/2=21$. Không có vai trò riêng trong nhóm nên không nhận 42 làm kết quả.
Chọn nhóm hay phân vai?
Chọn 3 người từ 8 người để cùng trực nhật, không phân nhiệm vụ. Số cách là
Chỉnh hợp phân biệt thứ tự không cần thiết.
Phép này cho phép chọn lặp một người.
Đúng: mỗi nhóm ba người được tính một lần.
$3!$ chỉ là số cách xếp một nhóm đã chọn.
Lời giải
Không xét thứ tự nên dùng $C_8^3=56$.
Nhóm có đủ thành phần
Có 5 thành viên trong câu lạc bộ Toán và 4 thành viên trong câu lạc bộ Tin, hai nhóm không có người chung. Chọn 2 người từ câu lạc bộ Toán và 1 người từ câu lạc bộ Tin.
Chọn nhóm Toán có $C_5^2=10$ cách; chọn người từ câu lạc bộ Tin có 4 cách. Ghép hai phần được 10·4=40 nhóm.
Không nhân thêm 3!: ba người được chọn cùng một nhóm, không có ba vị trí phân biệt.
Hai tính chất dễ hiểu
Chọn k phần tử tương đương với chỉ ra n−k phần tử bị bỏ lại, nên $C_n^k=C_n^{n-k}$. Chọn không phần tử hoặc chọn tất cả đều có đúng một cách: $C_n^0=C_n^n=1$.
Với 1≤k≤n−1, cố định một phần tử. Nhóm k phần tử hoặc có nó, hoặc không có nó, nên:
$$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}.$$
Đây cũng là cách tạo các hàng hệ số trong tam giác Pascal.
Chọn gần hết
Giá trị của $C_9^8$ là
Đã nhầm tổ hợp với chỉnh hợp.
Đúng: dùng tính chất đối xứng của tổ hợp.
Không phải chỉ chọn một trong tám phần tử.
Chỉ $C_9^0$ hoặc $C_9^9$ mới bằng $1$.
Lời giải
$C_9^8=C_9^1=9$: chọn 8 phần tử tương đương với chọn 1 phần tử bị bỏ lại.
Chọn ba phần tử
Giá trị của $C_6^3$ là
$120$ là $5!$, không phải số nhóm cần chọn.
Đúng: mỗi nhóm ba phần tử được tính một lần.
Phép tính chưa chia đúng số thứ tự trong mỗi nhóm.
$6$ không đếm đủ các nhóm ba phần tử.
Lời giải
$C_6^3=\dfrac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20$.
Bắt buộc có một người
Chọn nhóm 3 người từ 7 người, bắt buộc có An. Có bao nhiêu nhóm?
$C_7^3$ chưa dùng điều kiện bắt buộc có An.
Đúng: chọn hai thành viên còn lại.
$C_7^2$ vẫn cho phép nhóm không có An.
$6$ mới là số cách chọn một người.
Lời giải
An đã có trong nhóm, nên chỉ cần chọn thêm 2 người từ 6 người còn lại: $C_6^2=15$.
Bổ sung nhiệm vụ
Từ 7 người, chọn nhóm 3 người rồi chọn một trưởng nhóm trong nhóm ấy. Có bao nhiêu cách?
Chưa tính vai trò trưởng nhóm.
Đúng: chọn nhóm rồi chọn trưởng trong nhóm.
$210$ phân biệt nhiều thứ tự hơn yêu cầu.
$21$ không đếm đủ các nhóm và vai trò.
Lời giải
Có $C_7^3=35$ cách chọn nhóm. Mỗi nhóm có 3 cách chọn trưởng, nên có $35\cdot3=105$ cách.
Điều cần nhớ
Không xét thứ tự thì dùng tổ hợp. Chỉ chia cho k! khi mọi nhóm đã bị đếm đúng k! lần; nếu có phân vai, phải giữ phần phân biệt ấy.
Đang học