Đọc điều kiện trước khi đếm
Trước tiên, xác định một kết quả hoàn chỉnh là gì: một số, một mã, một hàng hay một nhóm. Sau đó xét có thứ tự không, có được lặp không, có vị trí bị hạn chế không.
Với số có nhiều chữ số, chữ số đầu không được là 0. Với mã, chữ số 0 ở đầu có thể hợp lệ nếu đề không cấm. Các điều kiện “đúng”, “ít nhất”, “không có” cũng dẫn đến những cách đếm khác nhau.
Mã có phần chữ và phần số
Mã gồm hai chữ khác nhau chọn từ 5 chữ cái, tiếp theo hai chữ số khác nhau chọn từ 6 chữ số.
Phần chữ có $A_5^2=20$ cách; phần số có $A_6^2=30$ cách. Vị trí hai phần đã cố định, nên tổng 20·30=600 mã.
Không đổi chỗ hai phần hoặc tự cấm chữ số 0: đề đã quy định đây là mã với chữ đứng trước số.
Chữ số đầu không bằng 0
Từ $0,1,2,3$ lập số có hai chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số?
$12$ đã tính cả số bắt đầu bằng $0$.
Đúng: mỗi bước có ba lựa chọn phù hợp.
Phương án này cho phép lặp và tính cả số bắt đầu bằng $0$.
Hàng đơn vị vẫn có thể là $0$.
Lời giải
Có $3\cdot3=9$ số: hàng chục có $3$ lựa chọn khác $0$, hàng đơn vị còn $3$ lựa chọn.
Số chẵn: chia theo chữ số cuối
Từ 0,1,2,3,4, lập số chẵn có ba chữ số khác nhau.
Nếu tận cùng 0: hàng trăm có 4 cách, hàng chục còn 3 cách, được 12 số.
Nếu tận cùng 2 hoặc 4: có 2 cách chọn chữ số cuối. Hàng trăm chọn một trong 3 chữ số khác 0 còn lại; hàng chục còn 3 cách, được 2·3·3=18 số.
Hai trường hợp không trùng và bao hết số chẵn cần tìm. Tổng 12+18=30 số.
“Ít nhất một” thường tiện đếm phần còn lại
Có 4 người nhóm A và 3 người nhóm B, hai nhóm không có người chung. Chọn 3 người có ít nhất một người nhóm B.
Có $C_7^3=35$ nhóm tất cả. Nhóm không có ai từ B là nhóm gồm 3 người A, có $C_4^3=4$ nhóm. Vậy có 35−4=31 nhóm hợp lệ.
Nếu đếm trực tiếp, phải cộng ba trường hợp có đúng 1, đúng 2 hoặc đúng 3 người nhóm B. Cách trừ giúp viết ngắn hơn mà vẫn đếm đủ.
Hai người đứng cạnh nhau
Xếp 5 người khác nhau thành hàng, An và Bình đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?
Đúng: đã tính cả vị trí khối và thứ tự trong khối.
Chưa tính hai thứ tự An–Bình và Bình–An.
$5!$ chưa dùng điều kiện đứng cạnh nhau.
$72$ là số cách hai người không đứng cạnh nhau.
Lời giải
Gộp An–Bình thành một khối. Khối này cùng ba người còn lại tạo bốn đối tượng, có $4!$ cách xếp; trong khối có hai thứ tự. Tổng là $4!\cdot2=48$.
Ít nhất một chữ số 0
Mã gồm 3 chữ số lấy từ $0,1,2$, được phép lặp. Có bao nhiêu mã chứa ít nhất một chữ số $0$?
Đây là số mã không chứa chữ số $0$.
Đúng: đếm phần bù của biến cố có ít nhất một chữ số $0$.
Đây là tổng số mã, chưa loại mã không có $0$.
Phép đếm chưa xét đủ ba vị trí.
Lời giải
Có $3^3=27$ mã tất cả. Mã không có chữ số $0$ chỉ dùng $1,2$, có $2^3=8$ mã. Vậy số mã cần tìm là $27-8=19$.
Đúng hai thành viên một nhóm
Có 4 người thuộc nhóm A và 5 người thuộc nhóm B, hai nhóm rời nhau. Chọn 3 người gồm đúng 2 người nhóm A. Có bao nhiêu cách?
Đúng: hai lựa chọn thành phần được ghép bằng quy tắc nhân.
Chưa dùng đúng số người của nhóm B.
Đã phân biệt thứ tự trong nhóm không cần thiết.
Chưa đếm đủ các cách chọn hai người nhóm A.
Lời giải
Chọn 2 trong 4 người nhóm A và 1 trong 5 người nhóm B, nên có $C_4^2C_5^1=6\cdot5=30$ cách.
Hai người không đứng cạnh
Xếp 5 người khác nhau thành hàng. Có bao nhiêu cách để An và Bình không đứng cạnh nhau?
Đây là số cách hai người đứng cạnh nhau.
Đúng: dùng tổng số cách trừ phần đứng cạnh nhau.
Chưa loại các cách An và Bình đứng cạnh nhau.
Chỉ là $4!$, chưa đúng yêu cầu.
Lời giải
Có $5!=120$ cách xếp tất cả. Số cách An và Bình đứng cạnh nhau là $4!\cdot2=48$. Vậy số cách không đứng cạnh nhau là $120-48=72$.
Điều cần nhớ
Chia trường hợp sao cho không trùng và không sót. Khi dùng phần bù, đếm tất cả và đếm phần loại trong cùng một kiểu kết quả.
Đang học