Hệ số xuất hiện từ đâu?
Trong tích bốn thừa số (a+b), để tạo a²b², ta chọn b ở 2 trong 4 thừa số và chọn a ở hai thừa số còn lại. Có $C_4^2=6$ cách, nên hệ số là 6.
Tương tự, các số hạng của (a+b)ⁿ có dạng $C_n^ka^{n-k}b^k$, với k từ 0 đến n. Ở bài này ta tập trung n=4 và n=5, đúng phạm vi khai triển nền cần ôn.
| n | Hệ số theo k từ 0 đến n |
|---|---|
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 |
Số mũ của a giảm từng đơn vị, số mũ của b tăng từng đơn vị; tổng hai số mũ luôn bằng n.
Khai triển một biểu thức có hệ số và dấu trừ
Khai triển (2x−1)⁴. Đặt a=2x,b=−1 và dùng hàng hệ số 1,4,6,4,1:
$$\begin{aligned}(2x-1)^4={}&(2x)^4+4(2x)^3(-1)\\&+6(2x)^2(-1)^2\\&+4(2x)(-1)^3+(-1)^4\\={}&16x^4-32x^3+24x^2-8x+1.\end{aligned}$$
Cần nâng cả hệ số $2$ lên lũy thừa. Dấu âm nằm trong $b$, nên các số hạng đổi dấu luân phiên.
Một hệ số trong khai triển
Hệ số của $x^2$ trong $(x+1)^4$ là
$4$ là hệ số của $x^3$ hoặc $x$.
Các số hạng giữa có nhiều cách tạo thành.
Đúng: có $6$ cách chọn hai thừa số cho phần $x^2$.
Không nhân hệ số $4$ với số mũ $2$.
Lời giải
Hệ số là $C_4^2=6$.
Chỉ tìm số hạng cần thiết
Tìm hệ số của x³ trong (x−2)⁵.
Số hạng chứa x³ ứng với chọn x ở 3 thừa số và −2 ở 2 thừa số. Hệ số là $C_5^2(-2)^2=10\cdot4=40$.
Không cần viết cả khai triển. Nếu hỏi **số hạng** chứa x³, trả lời 40x³; nếu hỏi **hệ số**, trả lời 40.
Tổng hệ số bằng giá trị tại x=1
Khi thay x=1 vào một đa thức, mọi lũy thừa của x đều bằng 1, nên giá trị nhận được là tổng các hệ số. Chẳng hạn tổng hệ số của (2x−1)⁴ bằng (2−1)⁴=1.
Hệ số tự do là giá trị tại x=0. Còn thay x=−1 cho tổng các hệ số kèm dấu luân phiên, không phải tổng thông thường.
Hệ số mang dấu âm
Hệ số của $x$ trong $(x-2)^4$ là
Dấu âm xuất hiện vì lũy thừa của $-2$ là số lẻ.
Đúng: đã tính cả hệ số tổ hợp và dấu.
$-8$ chưa nhân với $C_4^3$.
Chưa dùng đúng số lần chọn $-2$.
Lời giải
Số hạng chứa $x$ được tạo bằng cách chọn $x$ một lần và $-2$ ba lần: $C_4^3x(-2)^3=-32x$. Hệ số là $-32$.
Khai triển bậc năm
Khai triển nào đúng với $(x+1)^5$?
Đúng: số mũ giảm dần và hệ số theo hàng Pascal bậc năm.
Các hệ số giữa không đều bằng $1$.
Hai hệ số giữa phải bằng $10$.
Thứ tự các hệ số chưa đúng.
Lời giải
Hàng hệ số bậc năm là $1,5,10,10,5,1$, nên $(x+1)^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$.
Hệ số tự do
Hệ số tự do của $(2x-3)^4$ là
$16$ là hệ số của $x^4$.
Lũy thừa bậc chẵn cho kết quả dương.
Đúng: số hạng không chứa $x$ là $(-3)^4$.
$-3$ chưa được nâng lên lũy thừa bậc bốn.
Lời giải
Thay $x=0$, ta được hệ số tự do là $(-3)^4=81$.
Tổng các hệ số
Tổng các hệ số của $(x+2)^5$ bằng
$32=2^5$ là giá trị tại $x=0$, tức hệ số tự do.
Đúng: thay $x=1$ vào đa thức.
$3$ chưa được nâng lên lũy thừa bậc năm.
$125=5^3$ không phù hợp với biểu thức.
Lời giải
Tổng các hệ số bằng giá trị của đa thức tại $x=1$, nên bằng $(1+2)^5=3^5=243$.
Điều cần nhớ
Xác định số lần chọn từng phần, dùng đúng hệ số tổ hợp, rồi tính lũy thừa và dấu. Phân biệt hệ số với cả số hạng.
Đang học