Không phải lúc nào cũng cần biết nguyên hàm
Nếu đề đã cho giá trị một vài tích phân, ta có thể ghép chúng để tính yêu cầu mới. Điều quan trọng là nhìn đúng cận và hệ số.
Ba tính chất thường dùng
Với các hàm liên tục trên đoạn đang xét:
$$\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx.$$
$$\int_a^b(kf+mg)\,dx=k\int_a^b f\,dx+m\int_a^b g\,dx.$$
Với a<c<b, chia đoạn tại c:
$$\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx.$$
Tích phân của hằng số k trên [a;b] bằng k(b−a). Không dùng “tích phân của tích bằng tích hai tích phân”; tính tuyến tính chỉ xử lý cộng, trừ và hệ số hằng.
Ví dụ 1 — Tách các hệ số
Biết $\int_0^2 f(x)\,dx=5$ và $\int_0^2 g(x)\,dx=3$. Tính $\int_0^2[2f(x)-g(x)+4]\,dx$.
Tách thành ba tích phân. Hai phần đầu cho 2·5−3. Phần hằng số là 4·(2−0)=8. Tổng bằng 10−3+8=15.
Số 4 là giá trị hàm hằng, không phải tích phân của nó trên mọi đoạn; phải nhân với độ dài đoạn.
Thử: đảo cận
Biết $\int_a^bf(x)\,dx=5$. Tích phân từ b đến a bằng gì?
Đúng: cận đổi chỗ nên giá trị đổi dấu.
5 là giá trị theo thứ tự cận ban đầu.
Chỉ hai cận bằng nhau mới luôn cho 0.
Không cộng hai lần tích phân.
Lời giải
Đổi cận làm đổi dấu, nên kết quả −5. Chọn A.
Ví dụ 2 — Hàm có giá trị tuyệt đối
Tính $\int_0^3|x-1|\,dx$.
Biểu thức x−1 đổi dấu tại 1. Trên [0;1], |x−1|=1−x; trên [1;3], |x−1|=x−1. Tách tại mốc đó:
$$\int_0^1(1-x)\,dx=\frac12,$$
$$\int_1^3(x-1)\,dx=2.$$
Cộng được 5/2. Dấu giá trị tuyệt đối làm hai phần đều không âm; không được bỏ dấu ấy trên toàn [0;3].
Thử: lấy phần còn lại
Biết tích phân của f từ 0 đến 5 bằng 12, từ 0 đến 2 bằng 4. Tích phân từ 2 đến 5 bằng bao nhiêu?
Theo ghép khoảng, phần toàn bằng tổng hai phần, nên phần còn lại là hiệu $12-4$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Không có quy tắc chia hai tích phân theo độ dài như vậy.
Đã đảo thứ tự phép trừ; cần lấy tích phân đoạn lớn trừ đoạn đầu.
Lời giải
Theo quy tắc ghép khoảng, 12=4+I nên I=8.
Bài luyện 1
Tính $\int_2^5 3\,dx$.
Tích phân hàm hằng bằng giá trị hàm nhân độ dài đoạn $5-2=3$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Còn phải nhân độ dài đoạn với giá trị hằng $3$.
Đã coi biến tích phân là hằng số $3$; một nguyên hàm của $3$ là $3x$.
Lời giải
3(5−2)=9.
Bài luyện 2
Tính $\int_{-1}^1|x|\,dx$.
$|x|$ là hàm chẵn và không âm; hai nửa cộng nhau thay vì triệt tiêu.
Mỗi tam giác có đáy $1$, cao $1$, nên diện tích $1/2$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Trên nửa trái, $|x|=-x$; tích phân diện tích không âm.
Lời giải
Tách tại 0: tích phân −x trên [−1;0] bằng 1/2 và x trên [0;1] bằng 1/2. Tổng bằng 1.
Bài luyện 3
Biết $\int_0^2 f=3$ và $\int_0^2g=4$. Có suy ra $\int_0^2fg=12$ không?
Tích phân không có tính chất nhân như vậy.
Dữ kiện chỉ về hai tích phân riêng, không xác định tích phân của tích nếu không biết thêm các hàm.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Cũng không có quy tắc biến tích thành tổng; giá trị còn phụ thuộc dạng của $f,g$.
Lời giải
Không có tính chất đó. Chẳng hạn f=3/2,g=2 là hai hàm hằng thỏa dữ kiện, nhưng tích phân fg=3 trên đoạn dài 2 bằng 6, không bằng 12.
Những điều cần nhớ
Nhìn cận trước khi ghép. Tách khoảng khi biểu thức đổi công thức hoặc cần bỏ giá trị tuyệt đối; hệ số hằng khác hàm thay đổi theo x.
Đang học