Vì sao diện tích cần dấu giá trị tuyệt đối?
Tích phân cộng phần phía trên trục hoành và trừ phần phía dưới. Diện tích hình phẳng thì cả hai phần đều phải được tính dương. Ta cần xét dấu để phân biệt hai cách cộng này.
Công thức và trình tự
Cho f liên tục trên [a;b], a<b. Diện tích miền giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường x=a,x=b là:
$$S=\int_a^b|f(x)|\,dx.$$
Tìm nghiệm f(x)=0 trong đoạn, xét dấu trên từng khoảng, bỏ giá trị tuyệt đối đúng dấu rồi cộng diện tích. Nếu f≥0 trên cả đoạn, dùng tích phân f; nếu f≤0, dùng tích phân −f. Diện tích có đơn vị bình phương.
Ví dụ 1 — Đồ thị nằm trên trục
Tìm diện tích giữa y=x², trục hoành, x=0 và x=2.
Hàm x² không âm trên [0;2], nên không cần đổi dấu:
$$S=\int_0^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac83.$$
Hình giúp nhận miền cần tính; cận 0 và 2 đến từ hai đường thẳng của đề. Nếu các trục dùng cùng đơn vị độ dài, kết quả có đơn vị diện tích tương ứng.
Thử: hàm nằm dưới trục
Với y=−2 trên [0;3], diện tích với trục hoành bằng gì?
Đúng: lấy chiều cao dương nhân chiều rộng.
Đây là tích phân có dấu, không phải diện tích.
Chưa nhân chiều cao 2.
Chưa nhân chiều rộng 3.
Lời giải
S=2·3=6. Chọn A; −6 là tích phân của hàm −2 theo cận 0 đến 3.
Ví dụ 2 — Đồ thị cắt trục
Tìm diện tích giữa y=x−1, trục hoành, x=0 và x=3.
Giao trục tại x=1. Hàm âm trước 1, dương sau 1, nên:
$$S=\int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^3(x-1)\,dx.$$
Hai phần lần lượt 1/2 và 2, tổng 5/2. Trong khi đó tích phân x−1 trên [0;3] bằng −1/2+2=3/2. Ngay cả lấy giá trị tuyệt đối của 3/2 cũng không cho đúng diện tích.
Thử: hai miền bằng nhau
Tính diện tích với y=x trên [−2;2] và trục hoành.
Tích phân có dấu bị triệt tiêu; diện tích phải dùng trị tuyệt đối hoặc tách khoảng.
Còn một tam giác bằng nhau phía dưới trục; diện tích cả hai là $4$.
Miền gồm hai tam giác, chỉ bằng nửa diện tích hình chữ nhật bao ngoài.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Tách tại 0. Mỗi miền là tam giác vuông có hai cạnh 2, diện tích 2. Tổng bằng 4; tích phân x trên [−2;2] bằng 0 do triệt tiêu dấu.
Bài luyện 1
Tính diện tích với y=x² trên [0;1] và trục hoành.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Nguyên hàm của $x^2$ là $x^3/3$.
Nằm trong hình vuông không có nghĩa diện tích bằng cả hình vuông; tích phân cho $1/3$.
Đồ thị nằm trên trục hoành, nên hiệu không âm là $x^2-0$.
Lời giải
Hàm không âm, S=[x³/3] từ 0 đến 1 bằng 1/3.
Bài luyện 2
Tính diện tích với y=−x² trên [0;2] và trục hoành.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Diện tích không âm; đồ thị dưới trục nên phải đổi dấu.
Hàm không hằng; phải tích phân $x^2$.
Không có hệ số chia $2$; tích phân $x^2$ từ $0$ đến $2$ bằng $8/3$.
Lời giải
|−x²|=x², nên S=8/3. Đổi dấu đồ thị không làm đổi diện tích.
Bài luyện 3
Tính diện tích với y=sin x trên [0;2π] và trục hoành.
Đó là tích phân có dấu; diện tích hai nửa đều dương và cộng lại.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Còn phải lấy trị tuyệt đối phần âm trên $[\pi;2\pi]$, cũng có diện tích $2$.
Hàm không giữ giá trị $1$; tích phân trị tuyệt đối của sin trên một chu kì bằng $4$.
Lời giải
sin x≥0 trên [0;π], ≤0 trên [π;2π]. Tích phân sin x trên nửa đầu bằng 2; tích phân −sin x trên nửa sau bằng 2. Tổng diện tích 4.
Những điều cần nhớ
Diện tích là tích phân của |f|, không luôn là giá trị tuyệt đối của tích phân f. Xét dấu trước khi tính.
Đang học