Diện tích giữa hai đồ thị

Chiều cao của mỗi lát là khoảng cách giữa hai đường

Khi miền nằm giữa hai đồ thị, chiều cao không còn là khoảng cách đến trục hoành. Tại cùng một x, ta lấy tung độ phía trên trừ tung độ phía dưới.

Tìm cận và xét hiệu

Với f,g liên tục trên [a;b], a<b: $$S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$$ Nếu f≥g trên cả đoạn, S là tích phân f−g. Nếu hai đường đổi vị trí, tách tại nghiệm f=g. Khi đề cho miền chỉ giới hạn bởi hai đồ thị, giao điểm thường xác định các cận; khi đề còn cho x=a,x=b, giữ các cận đó và chỉ dùng giao điểm bên trong để chia khoảng.

Ví dụ 1 — Giao điểm cho cận

Tính diện tích miền kín giữa y=x và y=x².

Miền kín giữa y=x và y=x² từ giao điểm 0 đến giao điểm 1.

Giải x=x² được x=0,1. Trên [0;1], x−x²=x(1−x)≥0, nên đường y=x ở trên. Vì vậy: $$S=\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac12-\frac13=\frac16.$$ Hai đường cùng không âm trong miền này, nhưng nguyên tắc “trên trừ dưới” còn đúng khi cả hai nằm dưới trục hoành.

Thử: chọn chiều trừ

Trên [0;1], diện tích giữa y=2 và y=x² được tính bằng biểu thức nào?

A$\int_0^1(2-x^2)\,dx$B$\int_0^1(x^2-2)\,dx$C$\int_0^1 2x^2\,dx$D$\int_0^1(2+x^2)\,dx$

Ví dụ 2 — Đổi vị trí trong đoạn đã cho

Tính diện tích giữa y=x và y=−x với hai đường x=−1,x=2. Hai đồ thị cắt tại x=0. Trên [−1;0], −x≥x nên chiều cao −2x; trên [0;2], x≥−x nên chiều cao 2x. Hai phần: $$S_1=\int_{-1}^0(-2x)\,dx=1,$$ $$S_2=\int_0^2 2x\,dx=4.$$ Tổng bằng 5. Giao điểm 0 dùng để tách đoạn, không thay hai cận −1 và 2 đã cho.

Thử: hai đường nằm dưới trục

Tính diện tích giữa y=−1 và y=−3 trên [0;4].

ADiện tích bằng $(-1)-(-3)=2$.BDiện tích bằng $-8$ vì tích phân $-1-3$ trên $[0;4]$.CĐường −1 ở trên −3, chiều cao (−1)−(−3)=2. Diện tích 2·4=8.DDiện tích bằng $16$ vì khoảng cách hai đường là $4$.

Bài luyện 1

Tính diện tích giữa y=2x và y=x².

AGiao điểm $0,2$ và diện tích $\int_0^2(x^2-2x)dx=-4/3$.BGiao điểm x=0,2. Hiệu 2x−x²≥0 trên [0;2], S=[x²−x³/3] từ 0 đến 2 bằng 4/3.CDiện tích bằng $2$ vì tam giác giữa hai giao điểm có đáy $2$, cao $2$.DChỉ có giao điểm $x=2$, nên không có miền kín.

Bài luyện 2

Tính diện tích giữa y=3 và y=x trên [0;1].

A$S=\int_0^1(x-3)dx=-5/2$.B$S=3$ vì hình chữ nhật có chiều cao $3$.C3≥x, nên S=[3x−x²/2] từ 0 đến 1 bằng 5/2.D$S=2$ vì tại $x=1$ khoảng cách hai đồ thị bằng $2$.

Bài luyện 3

Giải f(x)=g(x) được nhiều nghiệm. Vì sao chưa thể cộng các hiệu nguyên hàm mà bỏ qua dấu?

ACó thể bỏ dấu vì tích phân của hiệu luôn là diện tích.BChỉ cần lấy trị tuyệt đối của kết quả tích phân cuối cùng.CGiữa các giao điểm, hai đồ thị có thể đổi vị trí. Phải xét f−g trên từng khoảng và dùng hiệu không âm; nếu không, các diện tích có thể triệt tiêu nhau.DKhông cần xét giao điểm; chỉ so sánh hai đồ thị tại cận trái.

Những điều cần nhớ

Chọn đúng cận, tìm giao điểm cần thiết, xét phía trên–dưới rồi tích phân. Hình là cách kiểm vị trí; kết luận vẫn dựa trên công thức và miền.