Thể tích bằng mặt cắt và khối tròn xoay

Tích lũy các mặt cắt dọc theo một trục

Để tính thể tích, ta xét mặt cắt vuông góc với trục tại từng vị trí x. Đại lượng đem tích phân phải là diện tích mặt cắt, không chỉ là chiều dài cạnh hay bán kính.

Công thức mặt cắt

Vật thể nằm giữa x=a,x=b với a<b. Nếu diện tích mặt cắt vuông góc Ox là A(x), liên tục trên [a;b], thì: $$V=\int_a^b A(x)\,dx.$$ Với mặt cắt vuông cạnh s(x), A=s². Với mặt cắt tròn bán kính r(x), A=πr². Nếu x tính bằng cm và A bằng cm² thì V bằng cm³.

Ví dụ 1 — Đề đã cho diện tích

Vật thể nằm giữa x=0,x=3; diện tích mặt cắt A(x)=x². Tính thể tích. Đề đã cho diện tích, nên dùng trực tiếp: $$V=\int_0^3x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=9.$$ Không bình phương x² thêm lần nữa và không tự nhân π: hai thao tác ấy chỉ cần khi phải lập diện tích từ cạnh hoặc bán kính.

Thử: đề cho cạnh mặt cắt

Mặt cắt vuông có cạnh x+1, với 0≤x≤2. Diện tích A(x) là gì?

A$ (x+1)^2 $B$x+1$C$\pi(x+1)^2$D$2(x+1)$

Quay miền quanh trục hoành

Quay miền giữa y=f(x)≥0, trục hoành và x=a,x=b quanh Ox. Mặt cắt là hình tròn bán kính f(x), nên: $$V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx.$$ Phân biệt với diện tích hình phẳng: diện tích dùng f, thể tích quay cần πf². Nếu mặt cắt có lỗ với bán kính ngoài R và trong r, dùng π(R²−r²); không dùng π(R−r)².

Ví dụ 2 — Quay miền dưới căn bậc hai

Quay miền giữa y=√x, trục hoành, x=0 và x=4 quanh Ox.

Miền dưới y=√x từ 0 đến 4 và bán kính mặt cắt khi quay quanh Ox.

Bán kính mặt cắt tại x là √x, nên diện tích mặt cắt bằng π(√x)²=πx. Do đó: $$V=\pi\int_0^4x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$ Trên hình mặt cắt, bán kính bằng tung độ của đường cong. Hệ số π xuất hiện từ diện tích hình tròn, không phải do mọi bài thể tích đều cần nhân π.

Thử: hình trụ là trường hợp đặc biệt

Quay miền dưới y=2 trên [0;3] quanh Ox. Tính thể tích.

A$V=2\pi\cdot3=6\pi$ vì diện tích mặt cắt bằng $\pi r$.B$V=4\pi$ vì chỉ tính một mặt cắt.CMặt cắt tròn bán kính 2, A=4π. V=4π·3=12π, đúng thể tích trụ bán kính 2 và cao 3.D$V=12$ vì bán kính và chiều cao đã có đơn vị.

Bài luyện 1

Mặt cắt có diện tích A(x)=2x+1 trên [0;2]. Tính V.

A$V=A(2)-A(0)=4$.B$V=\int_0^2(2x+1)^2dx$.C$V=[x^2+x]_0^2=8$.DV=[x²+x] từ 0 đến 2 bằng 6.

Bài luyện 2

Quay miền dưới y=x trên [0;3] quanh Ox. Tính V.

A$V=\pi\int_0^3x\,dx=9\pi/2$.BV=π tích phân x² từ 0 đến 3 bằng 9π; cũng là khối nón cao 3, bán kính đáy 3.C$V=\int_0^3x^2dx=9$.D$V=27\pi$ vì lấy bán kính đáy $3$ bình phương rồi nhân chiều cao $3$.

Bài luyện 3

Mặt cắt là vành khăn bán kính ngoài 3, trong 1, kéo dài từ x=0 đến x=2. Tính V.

A$A=\pi(3-1)^2=4\pi$, nên $V=8\pi$.B$A=\pi(9+1)=10\pi$, nên $V=20\pi$.C$V=8\pi$ vì $A=8\pi$.DA=π(9−1)=8π; V=16π. Bình phương hiệu bán kính sẽ cho sai diện tích phần vành.

Những điều cần nhớ

Đặt tên diện tích mặt cắt trước khi viết tích phân. Đọc kỹ đề cho cạnh, bán kính hay diện tích; giữ đúng trục quay và đơn vị khối.