Tích phân trong chuyển động và tích lũy

Bể ban đầu có 10 lít. Trong ba phút, nước chảy vào với lưu lượng q(t)=2t+1 lít/phút, không có nước chảy ra. Tìm lượng cuối cùng. Lượng thêm là tích phân q từ 0 đến 3: $$\int_0^3(2t+1)\,dt=[t^2+t]_0^3=12\text{ lít}.$$ Vậy cuối cùng có 10+12=22 lít. Số 12 chỉ là lượng thêm, không phải tổng lượng nước. Đơn vị lít/phút nhân với thời gian phút cho đơn vị lít.

Vật có v(t)=2t−2 m/s trên [0;3]. Tìm độ dịch chuyển và quãng đường. v=0 tại t=1, âm trước 1 và dương sau 1. Độ dịch chuyển: $$\int_0^3(2t-2)\,dt=[t^2-2t]_0^3=3\text{ m}.$$ Quãng đường gồm phần đi ngược chiều dương rồi phần đi cùng chiều dương: $$s=\int_0^1(2-2t)\,dt+\int_1^3(2t-2)\,dt=1+4=5\text{ m}.$$ Vật cách vị trí đầu 3 m theo chiều dương, nhưng đã đi tổng cộng 5 m.