Tìm GTLN–GTNN trên đoạn bằng đạo hàm

Từ cực trị đến so sánh trên đoạn

Tìm nghiệm của đạo hàm giúp ta biết những điểm bên trong đoạn có thể cho GTLN–GTNN. Nhưng hai đầu mút cũng có thể cho kết quả cần tìm. Ta sẽ lập một danh sách đầy đủ rồi thay vào **hàm số ban đầu** để so sánh.

Các bước tìm trên một đoạn

Với hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$, hàm có GTLN và GTNN trên đoạn đó. Đa thức luôn thỏa điều kiện liên tục này. Trong phương pháp dưới đây, giả sử hàm có đạo hàm trong $(a;b)$ trừ có thể tại hữu hạn điểm, và chỉ có hữu hạn điểm đạo hàm bằng $0$. 1. Tìm các điểm **trong $(a;b)$** mà $f'(x)=0$ hoặc đạo hàm không tồn tại nhưng hàm vẫn xác định. 2. Tính giá trị hàm tại các điểm ấy và tại **cả hai đầu mút** $a,b$. 3. So sánh: giá trị lớn nhất trong danh sách là GTLN, giá trị nhỏ nhất là GTNN. Ghi thêm nơi đạt được. Không lấy nghiệm ngoài đoạn. Nếu hàm không xác định tại một điểm trong đoạn, chưa được áp dụng cách này cho cả đoạn như một hàm liên tục. Với hàm hằng, mọi giá trị đều bằng nhau nên GTLN và GTNN cùng bằng hằng số đó.

Ví dụ 1 — Có một điểm cần xét bên trong

Parabol y bằng x bình trừ 4x cộng 1 trên đoạn 0 đến 5, với ba điểm cần so sánh tại x bằng 0, 2 và 5; thấp nhất ở x 2, cao nhất ở x 5. — Trên đoạn đóng, so sánh giá trị tại mọi điểm tới hạn hợp lệ và cả hai đầu mút.

Tìm GTLN, GTNN của $f(x)=x^2-4x+1$ trên $[0;5]$. **Bước 1.** Hàm là đa thức nên liên tục trên đoạn. Ta có $f'(x)=2x-4$. Giải $f'(x)=0$ được $x=2$, thuộc $(0;5)$. **Bước 2.** Tính ba giá trị: | $x$ | $0$ | $2$ | $5$ | |---|---|---|---| | $f(x)$ | $1$ | $-3$ | $6$ | Chẳng hạn $f(2)=4-8+1=-3$, $f(5)=25-20+1=6$. **Bước 3.** So sánh $-3<1<6$. Vậy GTNN là $-3$ tại $x=2$; GTLN là $6$ tại $x=5$. Nếu chỉ tìm cực tiểu tại $2$ rồi dừng, ta chưa trả lời được phần GTLN ở đầu mút $5$.

Thử: đừng bỏ đầu mút

Tìm GTLN và GTNN (theo thứ tự đó) của $g(x)=-x^2+6x-5$ trên $[0;5]$.

A$4$ và $0$B$4$ và $-5$C$3$ và $-5$D$5$ và $0$

Ví dụ 2 — Nghiệm ngoài đoạn phải loại

Tìm GTLN, GTNN của $p(x)=x^3-3x$ trên $[0;2]$. Hàm liên tục trên đoạn. Ta có $p'(x)=3x^2-3$, nên $p'(x)=0$ tại $x=-1$ hoặc $x=1$. Chỉ $1$ thuộc $(0;2)$; không đưa $-1$ vào danh sách. $$p(0)=0,\qquad p(1)=-2,\qquad p(2)=2.$$ Vậy GTNN là $-2$ tại $1$; GTLN là $2$ tại $2$. Ta không cần lập bảng biến thiên đầy đủ nếu đã thỏa điều kiện và liệt kê đủ các điểm theo phương pháp trên. Tuy nhiên, bảng dấu vẫn hữu ích khi đề hỏi thêm đơn điệu hoặc cực trị.

Thử: hàm tăng trên cả đoạn

Tìm GTLN, GTNN của $q(x)=x^3+2x$ trên $[-1;2]$.

A$q'(x)>0$ nên GTLN là $-3$ tại $x=-1$, GTNN là $12$ tại $x=2$.B$q\prime(x)=3x^2+2>0$, không có nghiệm. Hàm liên tục trên đoạn; danh sách cần so sánh chỉ có $q(-1)=-3$ và $q(2)=12$. GTNN là $-3$ tại $-1$; GTLN là $12$ tại $2$.CKhông có GTLN, GTNN vì phương trình $q'(x)=0$ vô nghiệm.DGTNN là $q(0)=0$ và GTLN là $q(2)=12$.

Khi hàm có nghĩa nhưng không có đạo hàm

Điều kiện “đạo hàm không tồn tại” không có nghĩa là bỏ điểm đó. Ví dụ $u(x)=|x-1|$ liên tục trên $[0;3]$ nhưng không có đạo hàm tại $1$. Khi dùng danh sách điểm cần xét, phải giữ $1$ cùng hai đầu mút. Ta có $u(0)=1$, $u(1)=0$, $u(3)=2$, nên GTNN là $0$, GTLN là $2$. cũng có thể kiểm bằng ý nghĩa khoảng cách đến $1$. Các bài đa thức trong lô này không có điểm mất đạo hàm; phần nhắc này giúp ta không bỏ sót khi gặp dạng khác.

Bài luyện 1

Tìm GTLN, GTNN của $r(x)=x^3-3x^2+1$ trên $[0;3]$.

AChỉ xét nghiệm $x=2$: GTNN là $-3$ tại $2$ và hàm không có GTLN.BGTLN là $1$ tại $x=0$; GTNN là $-3$ tại $x=2$.CGTLN là $3$ tại $x=3$ và GTNN là $-2$ tại $x=2$.D$r\prime(x)=3x(x-2)$. Điểm trong đoạn cần xét là $2$; $0$ đã là đầu mút. $r(0)=1$, $r(2)=-3$, $r(3)=1$. GTLN là $1$ tại cả $0,3$; GTNN là $-3$ tại $2$.

Bài luyện 2

Tìm GTLN, GTNN của $s(x)=x^2-6x+2$ trên $[0;2]$.

AĐiểm tới hạn $x=3$ cho GTNN $s(3)=-7$; GTLN là $2$ tại $0$.BHàm giảm trên $[0;2]$, nên GTLN là $-6$ tại $2$ và GTNN là $2$ tại $0$.C$s\prime(x)=2x-6$ bằng 0 tại 3, ngoài đoạn nên loại. $s(0)=2$, $s(2)=-6$. GTLN là 2 tại 0; GTNN là −6 tại 2.DGTLN là $2$ tại $0$; không có GTNN vì nghiệm đạo hàm không thuộc đoạn.

Bài luyện 3

An tìm GTLN, GTNN của $t(x)=1/(x-1)$ trên $[0;2]$ bằng cách so sánh $t(0)$ với $t(2)$. Cách làm có hợp lệ không?

AHợp lệ; $t(0)=-1$, $t(2)=1$ nên GTNN là $-1$, GTLN là $1$.BKhông. Hàm không xác định tại 1 nên không liên tục trên cả đoạn [0;2]. Phải xác định lại tập đang xét trước; không thể dùng trực tiếp phương pháp cho hàm liên tục trên đoạn. Chỉ hai giá trị đầu mút không đủ.CKhông hợp lệ vì hàm có đạo hàm bằng $0$ tại $x=1$ nên phải xét thêm điểm đó.DHợp lệ vì mọi hàm phân thức đều đạt GTLN, GTNN ở hai đầu đoạn.

Những điều cần nhớ

Kiểm điều kiện → tìm điểm cần xét bên trong → thêm hai đầu mút → thay vào hàm gốc → so sánh. Nếu đề hỏi cả GTLN và GTNN, viết đủ hai kết quả. Nếu nhiều điểm cho cùng giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, nêu đủ các điểm đó.