Mẫu bằng 0 mới là điểm cần kiểm tra
Trong bài giới hạn, ta đã gặp hai tình huống: giá trị hàm vươn ra vô cực, hoặc vẫn tiến đến một số hữu hạn dù công thức không xác định tại điểm đó. Chỉ tình huống thứ nhất cho tiệm cận đứng.
Điều kiện để có tiệm cận đứng
Đường x=a là tiệm cận đứng nếu **ít nhất một giới hạn một phía** của f khi x→a bằng +∞ hoặc −∞. Chỉ xét phía có các điểm thuộc tập xác định tiến gần a.
Với phân thức, tìm nghiệm mẫu rồi kiểm tử và giới hạn. Nếu tử cũng bằng 0, cần rút gọn hoặc biến đổi trước. Đường đứng viết **x=a**; đừng nhầm với đường ngang y=a.
Ví dụ 1 — Tử không bằng 0
Xét $f(x)=(2x+1)/(x-3)=2+7/(x-3)$, x≠3.
Khi x→3 từ trái, mẫu x−3 âm và tiến về 0, nên f→−∞. Khi x→3 từ phải, mẫu dương và tiến về 0, nên f→+∞. Do đó x=3 là tiệm cận đứng.
Ngoài 3, đây là phân thức có mẫu khác 0 nên liên tục và không có giới hạn vô cực tại điểm hữu hạn nào khác. Vậy không có tiệm cận đứng khác.
Thử: một phía là đủ
Biết hai giới hạn một phía:
$$\lim_{x\to2^-}g(x)=5,$$
$$\lim_{x\to2^+}g(x)=+\infty.$$
Kết luận nào đúng?
Giới hạn hữu hạn khi x→2 không phải giới hạn tại vô cực để suy ra tiệm cận ngang.
Đúng: không cần cả hai phía cùng vô cực.
Hai phía không cần có cùng giới hạn.
y=2 là đường ngang.
Lời giải
Giới hạn phía phải bằng +∞ đủ để kết luận x=2 là tiệm cận đứng. Chọn B.
Ví dụ 2 — Rút gọn nhưng vẫn giữ điểm loại
Xét $h(x)=(x^2-1)/(x-1)$, x≠1. Với mọi x trong miền, h(x)=x+1. Vì vậy hai giới hạn tại 1 đều bằng 2, không vô cực.
Đồ thị là đường y=x+1 bỏ điểm (1;2). Ta gọi đó là điểm khuyết; x=1 không phải tiệm cận đứng.
Rút gọn không tự bổ sung điểm vào tập xác định. Nếu đề cho công thức gốc, điều kiện x≠1 vẫn phải giữ.
Thử: loại một nghiệm, giữ một nghiệm
Tìm tiệm cận đứng của $u(x)=(x-1)/(x^2-1)$.
Nhân tử $x-1$ rút gọn làm giới hạn tại $1$ hữu hạn; đó chỉ là điểm khuyết.
Tử và mẫu cùng bằng $0$ báo hiệu cần rút gọn; kết quả loại $x=1$ và còn vô cực tại $x=-1$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Sau rút gọn vẫn còn mẫu $x+1$, tạo giới hạn vô cực tại $x=-1$.
Lời giải
Tập xác định loại cả −1 và 1. Với x≠±1, $u(x)=1/(x+1)$. Tại 1, giới hạn bằng 1/2 nên không có tiệm cận đứng. Tại −1, giới hạn trái −∞, phải +∞, nên chỉ có x=−1.
Ví dụ chỉ có miền ở một phía
Hàm $v(x)=1/\sqrt{x-2}$ chỉ xác định khi x>2. Khi x→2⁺, mẫu dương tiến về 0 nên v→+∞. Vậy x=2 vẫn là tiệm cận đứng; không cần tạo ra một giới hạn trái khi không có điểm thuộc miền bên trái gần 2.
Bài luyện 1
Tìm các tiệm cận đứng của $(x+1)/(x^2-4)$.
Tại $-2$, mẫu bằng $0$ còn tử bằng $-1\ne0$, nên vẫn có giới hạn vô cực.
Tiệm cận đứng có phương trình $x=a$, không phải $y=a$.
Đổi dấu không loại tiệm cận; tử khác $0$ tại cả hai nghiệm nên có giới hạn một phía vô cực.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Mẫu bằng 0 tại ±2, tử lần lượt bằng −1 và 3, đều khác 0. Tại mỗi điểm có giới hạn một phía vô cực. Hai tiệm cận đứng là x=−2 và x=2.
Bài luyện 2
Tìm tiệm cận đứng của $(x-3)^2/(x-3)$ và nêu điểm khuyết.
Sau rút gọn, giới hạn tại $3$ hữu hạn bằng $0$; điểm bị loại chưa đủ tạo tiệm cận đứng.
Tọa độ điểm khuyết phải có hoành độ $3$ và tung độ giới hạn $0$, tức $(3;0)$.
Phép rút gọn chỉ đúng khi $x\ne3$; hàm gốc vẫn bị thiếu điểm $(3;0)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Với x≠3, hàm bằng x−3, giới hạn tại 3 bằng 0. Không có tiệm cận đứng; điểm khuyết là (3;0).
Bài luyện 3
$-1/(x+2)^2$ có tiệm cận đứng nào? Hai giới hạn một phía có cần trái dấu không?
Giải $x+2=0$ cho $x=-2$; không được bỏ dấu của nghiệm.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Chỉ cần ít nhất một giới hạn một phía là vô cực; hai phía không bắt buộc trái dấu.
Mẫu bình phương dương ở cả hai phía, tử âm nên cả hai giới hạn đều bằng $-\infty$.
Lời giải
Cả hai giới hạn tại −2 đều bằng −∞ vì mẫu bình phương dương tiến về 0. Tiệm cận đứng x=−2; hai giới hạn không cần trái dấu.
Những điều cần nhớ
Tìm miền → điểm cần xét → giới hạn một phía → kết luận. Mẫu bằng 0 chưa đủ; điểm khuyết không đồng nghĩa tiệm cận đứng. Ít nhất một phía vô cực là đủ.
Đang học