Khi hàm tiến gần một đường nghiêng
Hàm có thể tăng không giới hạn nhưng vẫn tiến gần một đường thẳng nghiêng. Điều cần xét lúc này là hiệu giữa giá trị hàm và giá trị đường thẳng tại cùng x, không phải giới hạn riêng của hàm.
Định nghĩa tiệm cận xiên
Đường y=ax+b, với a≠0, là tiệm cận xiên nếu $f(x)-(ax+b)\to0$ khi x→+∞ hoặc x→−∞.
Với phân thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu một đơn vị, chia đa thức thường cho $f(x)=ax+b+$ phần còn lại tiến về 0. Phải kiểm phần còn lại đó; không bỏ nó mà chưa giải thích.
Ví dụ 1 — Chia từng bước
Tìm tiệm cận xiên của $f(x)=(x^2-3x+5)/(x+2)$.
**Điều kiện:** x≠−2. Lấy x²:x=x, rồi trừ x(x+2) khỏi tử, còn −5x+5. Lấy −5x:x=−5; trừ −5(x+2), còn dư 15. Do đó:
$$x^2-3x+5=(x+2)(x-5)+15,$$
$$f(x)=x-5+\frac{15}{x+2}.$$
Hiệu $f(x)-(x-5)=15/(x+2)$ tiến về 0 ở cả hai phía vô cực. Vậy tiệm cận xiên là y=x−5. Số dư 15 không trở thành hệ số tự do của đường xiên.
Thử: nhận đường xiên
Với $g(x)=(x^2+1)/(x-1)$, tiệm cận xiên là đường nào?
Nhân (x−1)(x−1) không cho phần thương đúng.
Đây là tiệm cận đứng, không phải xiên.
Đúng: phần dư chia mẫu tiến về 0.
Hàm không có giới hạn hữu hạn bằng 1 ở vô cực.
Lời giải
$g(x)=x+1+2/(x-1)$ nên $g(x)-(x+1)\to0$. Đường xiên y=x+1, chọn C.
Ví dụ 2 — Đọc đường nét đứt trên hình
Hình cho đồ thị $h(x)=2x+3+1/(x+1)$ cùng hai đường tiệm cận. Đường xiên đi qua A(−1;1), B(0;3).
Hệ số góc là $(3-1)/(0-(-1))=2$. Vì đường đi qua (0;3), hệ số tự do bằng 3. Vậy đường xiên y=2x+3; đường đứng x=−1.
Ta lấy hai điểm trên **đường nét đứt**, không lấy điểm tùy ý trên đường cong. Công thức cũng xác nhận: $h(x)-(2x+3)=1/(x+1)\to0$.
Thử: phần dư mang dấu âm
Tìm tiệm cận đứng và xiên của $u(x)=(x^2+x-2)/(x+1)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Phần dư có dấu âm và nghiệm mẫu là $-1$; tiệm cận đứng đã bị sai dấu.
Phép chia cho thương $x$ và phần dư $-2$; số $-2$ nằm trong phân thức dư, không phải hệ số tự do của đường xiên.
Tử tại $-1$ bằng $-2\ne0$, nên giới hạn vô cực và có tiệm cận đứng.
Lời giải
Với x≠−1, $u=x-2/(x+1)$. Phần dư chia mẫu tiến về 0 nên đường xiên y=x. Tại −1, phía trái +∞, phía phải −∞ nên đường đứng x=−1.
Cách khác để tìm hai hệ số
Khi cần, ở cùng một phía vô cực ta có thể tìm $a=\lim f(x)/x$, rồi $b=\lim[f(x)-ax]$. Nếu hai giới hạn hữu hạn và a≠0 thì y=ax+b là tiệm cận xiên phía đó.
Với f của ví dụ 1, f(x)/x→1, sau đó f(x)−x→−5. Kết quả vẫn là y=x−5. Chia đa thức thường ngắn hơn cho các phân thức đang học; công thức giới hạn giúp kiểm lại kết luận.
Bài luyện 1
Tìm tiệm cận xiên của $(2x^2+x+3)/(x+1)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Nhân lại cho thấy thương đúng là $2x-1$ và phần dư $4$.
Phương trình đường xiên phải lấy từ thương của phép chia đa thức, không đọc trực tiếp từ tử.
Từ phần tuyến tính của hàm thu được $y=2x-1$; phương trình đã đổi sai vai trò của $x,y$.
Lời giải
Tử bằng (x+1)(2x−1)+4. Hàm bằng $2x-1+4/(x+1)$, hiệu với 2x−1 tiến về 0. Đường xiên y=2x−1.
Bài luyện 2
Một đường tiệm cận xiên đi qua (0;−2) và (2;4). Viết phương trình đường ấy.
Đã ghép sai các tọa độ; hệ số góc phải là $(4-(-2))/(2-0)=3$.
Điểm $(0;-2)$ cho hệ số tự do $-2$, phải giữ đúng dấu.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đi qua một điểm chưa đủ; thay $(2;4)$ vào cho thấy hệ số góc phải là $3$.
Lời giải
Hệ số góc (4−(−2))/(2−0)=3, hệ số tự do −2. Đường xiên y=3x−2.
Bài luyện 3
$f(x)=x^2+1$ có tiệm cận xiên dạng y=ax+b không?
Hiệu $x^2+1-(x+1)=x^2-x$ không tiến về $0$.
Đường tiệm cận xiên đang xét phải có dạng bậc nhất $y=ax+b$; $y=x^2$ không phải đường thẳng.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Không được chia hàm cho $x^2$ để thay điều kiện hiệu; $f(x)-0$ vẫn tiến tới $+\infty$.
Lời giải
Không. Với mọi a,b cố định, hiệu x²−ax+1−b vẫn tiến về +∞ khi x→±∞, không tiến về 0. Không phải mọi hàm tiến ra vô cực đều có tiệm cận xiên.
Kết thúc cụm tiệm cận
Đứng: giới hạn một phía tại điểm hữu hạn là vô cực. Ngang: giới hạn ở vô cực là số hữu hạn. Xiên: hiệu với đường ax+b tiến về 0, a≠0.
Trong kho đạo hàm, chọn “Xác định tiệm cận từ công thức” và các câu đọc tiệm cận trong “Đọc tiệm cận và đối xứng từ đồ thị”. Ở cụm tiếp, ta dùng các kết quả này để khảo sát toàn bộ đồ thị.
Đang học