Từ hàm gốc đến mức thay đổi trên một đoạn
Ở bài trước, ta dùng nguyên hàm để tìm vị trí. Nếu chỉ cần mức thay đổi từ a đến b thì hằng số C tự triệt tiêu trong F(b)−F(a). Hiệu này dẫn đến tích phân xác định.
Đọc ký hiệu và tính đúng thứ tự
Với f liên tục trên [a;b] và F là một nguyên hàm của f, ta có:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$
a là cận dưới, b là cận trên, x là biến tích phân. Ký hiệu $[F(x)]_a^b$ cũng có nghĩa là thay b rồi trừ giá trị tại a. Tích phân xác định là **một số**; kết quả không còn C hoặc biến x.
Nếu a=b thì tích phân bằng 0; đổi chỗ hai cận thì đổi dấu. Khi a<b và f≥0, tích phân bằng diện tích miền dưới đồ thị, trên trục hoành, từ a đến b. Nếu f có phần âm, không tự coi tích phân là toàn bộ diện tích.
Ví dụ 1 — Thay cận vào nguyên hàm
Tính $\int_0^2 3x^2\,dx$.
Một nguyên hàm là F(x)=x³. Thay cận trên rồi trừ cận dưới:
$$\int_0^2 3x^2\,dx=2^3-0^3=8.$$
Không thay 2 và 0 vào 3x² rồi lấy hiệu: đó là hiệu giá trị của f, không phải hiệu nguyên hàm.
Thử: kết quả có còn C?
$\int_0^1 2x\,dx$ bằng bao nhiêu?
Đúng: hiệu hai giá trị bằng 1.
C triệt tiêu trong hiệu hai đầu.
2 là giá trị hàm dưới dấu tích phân tại 1.
Đây là họ nguyên hàm, chưa thay cận.
Lời giải
Tích phân bằng 1. Nếu dùng x²+C thì (1+C)−(0+C)=1. Chọn A.
Ví dụ 2 — Cận dưới không bằng 0
Tính $\int_1^3(2x+1)\,dx$.
Lấy F(x)=x²+x. Ta có F(3)=12 và F(1)=2, nên tích phân bằng 12−2=10. Cần trừ toàn bộ F(1), không chỉ trừ một hạng.
Vì 2x+1 dương trên [1;3], kết quả cũng bằng diện tích hình thang có hai cạnh song song dài 3 và 7, khoảng cách 2: (3+7)·2/2=10. Cách hình học giúp kiểm lại trong trường hợp đơn giản.
Thử: tích phân của hàm mũ
Tính $\int_0^1e^x\,dx$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Công thức Newton–Leibniz còn phải trừ giá trị tại cận dưới $e^0=1$.
Thứ tự đúng là giá trị ở cận trên trừ cận dưới.
Tích phân xác định là một số; hằng số nguyên hàm triệt tiêu trong hiệu.
Lời giải
Một nguyên hàm eˣ. Hiệu e¹−e⁰=e−1.
Bài luyện 1
Tính $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$.
Nguyên hàm của cos là sin, không phải cos.
Đã đảo thứ tự cận; phải lấy cận trên trừ cận dưới.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Cos thay đổi trên đoạn; phải dùng nguyên hàm.
Lời giải
sin(π/2)−sin0=1.
Bài luyện 2
Tính $\int_1^2 1/x\,dx$.
Thứ tự cận bị đảo; phải lấy $\ln2-ln1$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đã dùng chính hàm $1/x$ thay cho một nguyên hàm; nguyên hàm là $\ln x$.
Tích phân xác định không còn hằng số tùy ý.
Lời giải
Hàm liên tục trên [1;2], nguyên hàm ln x. Kết quả ln2−ln1=ln2.
Bài luyện 3
Có áp dụng ngay công thức trên để tính $\int_{-1}^1 1/x\,dx$ bằng ln1−ln1=0 không?
Hàm không liên tục trên đoạn do không xác định tại $0$, nên công thức không áp dụng trực tiếp.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
$\ln|x|$ vẫn không xác định tại $0$ và chỉ là nguyên hàm trên từng khoảng tách rời.
Hàm có nguyên hàm $\ln|x|$ trên mỗi khoảng không chứa $0$; vấn đề là đoạn tích phân đi qua điểm gián đoạn.
Lời giải
Không. Hàm 1/x không xác định tại 0 trong đoạn; bài này không thuộc trường hợp tích phân của hàm liên tục đang học. Không được thế cận xuyên qua điểm gián đoạn bằng một nguyên hàm chỉ có nghĩa trên từng khoảng.
Những điều cần nhớ
Kiểm hàm có nghĩa và liên tục trên đoạn, tìm nguyên hàm, tính F(b)−F(a). Tích phân là số, khác họ nguyên hàm.
Đang học