Chuẩn bị một bài khảo sát ngắn
Có thể dùng GeoGebra Classic trên máy tính hoặc trình duyệt. Trong bài này, ta dùng tên lệnh tiếng Anh; nếu cần, chọn ngôn ngữ English (US). Các biểu thức được nhập vào ô nhập lệnh, mỗi lần một dòng.
Trước khi mở phần mềm, cần tính đạo hàm và dự đoán đặc điểm chính của $f(x)=x^3-3x$. Sau đó dùng hình vẽ để đối chiếu. Nếu chưa có thiết bị, các câu luyện vẫn có thể được giải bằng công thức và hình minh họa trong bài.
| Cần xem | Biểu thức nhập |
|---|---|
| Vẽ hàm số | `f(x)=x^3-3x` |
| Tính đạo hàm | `Derivative(f)` |
| Tìm các điểm cực trị của đa thức | `Extremum(f)` |
Kết quả của lệnh cực trị là các điểm trên đồ thị. Ta đọc hoành độ để biết cực trị xảy ra tại đâu, đọc tung độ để biết giá trị cực trị.
Đối chiếu cực trị và hai đầu đoạn
Với $f(x)=x^3-3x$, đạo hàm bằng $3x^2-3$, có nghiệm $-1,1$. Bảng dấu cho hai điểm cực trị $(-1;2)$ và $(1;-2)$. Sau khi nhập hàm và lệnh, hình phần mềm cần thể hiện đúng hai điểm này.
Muốn tìm lớn nhất, nhỏ nhất trên $[-2;2]$, ta vẫn phải xét hai đầu đoạn. Nhập thêm `A=(-2,f(-2))` và `B=(2,f(2))`. Ta có $A(-2;-2)$, $B(2;2)$.
Vì vậy giá trị lớn nhất là $2$ và nhỏ nhất là $-2$. Chỉ nhìn danh sách cực trị mà bỏ hai đầu đoạn có thể dẫn đến lời giải thiếu bước ở những bài khác.
Một hàm số mới
Nhập $g(x)=x^3-6x$ rồi đối chiếu đạo hàm và hai điểm cực trị. Viết kết quả chính xác trước khi đọc số gần đúng trên màn hình.
Giải $x^2=2$ cho $x=\pm\sqrt2$, không phải $\pm2$.
Dấu đạo hàm đổi $+\to-$ tại nghiệm âm và $-\to+$ tại nghiệm dương; hai loại cực trị bị đảo.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Dạng căn là giá trị chính xác; số thập phân hiển thị chỉ là gần đúng.
Lời giải
Ta có $g'(x)=3x^2-6$, bằng $0$ tại $x=\pm\sqrt2$. Đạo hàm dương ngoài hai nghiệm, âm giữa chúng. Điểm cực đại là $(-\sqrt2;4\sqrt2)$, điểm cực tiểu là $(\sqrt2;-4\sqrt2)$. Số thập phân trên phần mềm là dạng gần đúng của các tọa độ này.
Vẽ cùng các đường tiệm cận
Xét $h(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}=2+\dfrac3{x-1}$, với $x\ne1$. Ta biết tiệm cận đứng là $x=1$, tiệm cận ngang là $y=2$.
Nhập `h(x)=(2x+1)/(x-1)`, rồi nhập riêng `x=1` và `y=2`. Đổi nét hoặc màu của hai đường thẳng để dễ phân biệt với đồ thị. Khi thu nhỏ hình, hai nhánh đồ thị tiến gần đường $y=2$; khi tiến sát $x=1$, độ lớn của giá trị hàm tăng lên.
Hình vẽ giúp quan sát. Kết luận về tiệm cận vẫn dựa vào giới hạn: $3/(x-1)\to0$ khi $x\to\pm\infty$, và tiến ra vô cực thích hợp khi $x\to1^\pm$.
Tự vẽ một tiệm cận xiên
Vẽ $p(x)=\dfrac{x^2+2x+4}{x+1}$ cùng các tiệm cận của nó. Ghi phương trình hai tiệm cận.
Mẫu $x+1$ bằng $0$ tại $x=-1$.
Thương của phép chia là $x+1$; số $3$ nằm ở phần dư.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Hiệu chỉ tiến về $0$ ở vô cực; tại $x=-1$ còn có tiệm cận đứng.
Lời giải
Ta viết $p(x)=x+1+\frac3{x+1}$, với $x\ne-1$. Vì vậy nhập thêm hai đường $x=-1$ và $y=x+1$. Hiệu giữa hàm và đường xiên là $3/(x+1)$, tiến về $0$ khi $x$ tiến ra vô cực.
Cửa sổ nhỏ có thể che mất điều gì?
Với $g(x)=x^3-6x$, nếu chỉ hiển thị hoành độ từ $0$ đến $3$, có nhìn thấy cả hai điểm cực trị không? Nên đổi cửa sổ thế nào?
Cực đại có hoành độ $-\sqrt2<0$, nằm ngoài khung từ $0$ đến $3$.
Thay đổi tung độ không đưa điểm có hoành độ âm vào khung; phải mở trục hoành sang phía âm.
Khung nhìn không thay đổi tính chất của hàm; cần tính toán và mở rộng cửa sổ.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Không. Điểm cực đại có hoành độ $-\sqrt2<0$, nằm ngoài khung. Có thể đặt khoảng hoành độ từ $-3$ đến $3$ và tung độ từ $-7$ đến $7$ để nhìn thấy cả hai cực trị. Việc một điểm không có trong khung nhìn không có nghĩa là hàm không có điểm đó.
Hoàn thành một bản khảo sát
Khảo sát $q(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$: tập xác định, chiều biến thiên, tiệm cận và giao hai trục. Sau đó dùng phần mềm đối chiếu.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đạo hàm đúng là $-3/(x-1)^2<0$.
Mẫu bằng $0$ tại $1$ và tử bằng $0$ tại $-2$; hai hoành độ đã sai dấu.
Miền bị tách tại $1$, còn $q(0)=-2$.
Lời giải
Tập xác định là $\mathbb R\setminus\{1\}$. $q'(x)=-3/(x-1)^2<0$, nên hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$. Viết $q=1+3/(x-1)$ được tiệm cận đứng $x=1$, ngang $y=1$. Đồ thị cắt $Ox$ tại $(-2;0)$ và $Oy$ tại $(0;-2)$. Nhập hai điểm này để đối chiếu vị trí trên hình.
Bài thực hành hoàn thành khi nào?
Bài thực hành cần có một hình vẽ đọc được tên trục và các điểm cần xét, cùng một phần tính toán ngắn giải thích kết quả. Nếu hình và bài tính khác nhau, cần kiểm công thức nhập, tập xác định và khung nhìn trước.
Đang học