Thực hành: Dựng tổng ba vectơ

Nhìn cùng một tổng theo hai cách

Ta đã biết cộng vectơ bằng quy tắc hình học và bằng tọa độ. Trong bài này, ta dựng một hình hộp để thấy hai cách cho cùng một kết quả. Mở chế độ hình học 3D của GeoGebra. Để dùng đúng các lệnh trong bài, có thể chọn ngôn ngữ English (US). Nhập bốn điểm `A=(0,0,0)`, `B=(2,0,0)`, `D=(0,3,0)`, `E=(0,0,1)`. Trong công thức Toán ta viết tọa độ bằng dấu chấm phẩy; trong lệnh phần mềm ta dùng dấu phẩy. Nhập `u=Vector(A,B)`, `v=Vector(A,D)`, `w=Vector(A,E)`, rồi `s=u+v+w`. Kết quả cho vectơ tổng có tọa độ $(2;3;1)$.

Dựng hình hộp từng bước

Trong hình vẽ, đỉnh $E$ của phần nhập lệnh đóng vai trò $A'$ của hình hộp. Nhập thêm `C=(2,3,0)` và `F=(2,3,1)`; điểm $F$ đóng vai trò $C'$.

Tổng ba vectơ cạnh AB, AD, AA′ là vectơ đường chéo AC′; trong lệnh, A′ được đặt tên E và C′ được đặt tên F.

Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v$. Tiếp tục đi từ $C$ theo vectơ $\vec w$, ta đến $F$. Do đó $\overrightarrow{AF}=\vec u+\vec v+\vec w=(2;3;1)$. Đường chéo và ba cạnh có cùng tổng độ dời, nhưng tổng độ dài ba cạnh là $2+3+1=6$, còn độ dài đường chéo là $\sqrt{14}$.

Tăng chiều cao của hình hộp

Thay $E$ bằng $(0;0;4)$, giữ $A,B,D$ như trên. Tính tổng mới và độ dài của nó. Khi dựng lại, điểm cuối trên hình hộp phải ở đâu?

ATổng mới $(2;3;1)$ và độ dài $\sqrt{14}$ vì chỉ tăng thành phần đứng thêm $1$.BTổng $(2;3;4)$ nhưng độ dài bằng $9$.CTổng mới là $(2;0;0)+(0;3;0)+(0;0;4)=(2;3;4)$, độ dài $\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}$. Điểm cuối xuất phát từ $A$ là $(2;3;4)$. Nếu $F$ đã được nhập bằng tọa độ cố định, cần đổi tọa độ $F$ cho phù hợp; một điểm nhập cố định không tự phụ thuộc vào $E$.DĐiểm cuối vẫn giữ nguyên vì điểm $F$ trên phần mềm tự cập nhật theo $E$.

Dời điểm đầu không đổi vectơ

Lấy điểm đầu mới $M(1;-1;2)$ và giữ $\vec s=(2;3;1)$. Điểm cuối $N$ thỏa $\overrightarrow{MN}=\vec s$ có tọa độ $$N=(1+2;-1+3;2+1)=(3;2;3).$$ Nhập `M=(1,-1,2)`, `N=(3,2,3)` và `Vector(M,N)`. Mũi tên mới được đặt ở vị trí khác, nhưng có cùng hướng, cùng độ dài và cùng tọa độ với $\vec s$. Đây là hai cách biểu diễn cùng một vectơ.

Lần lượt theo các vectơ

Xuất phát từ $M(1;-1;2)$, lần lượt đi theo $(2;0;0)$, $(0;3;0)$, $(0;0;1)$. Ghi các điểm đến sau từng bước.

ASau bước một là $(3;-1;2)$; bước hai là $(3;2;2)$; bước ba là $(3;2;3)$. Điểm cuối trùng $N$ ở ví dụ. Các vectơ liên tiếp được ghép điểm cuối của mũi tên trước với điểm đầu của mũi tên sau.BCác điểm lần lượt là $(2;0;0)$, $(0;3;0)$, $(0;0;1)$.CSau bước một $(3;-1;2)$, bước hai $(3;3;2)$, bước ba $(3;3;3)$.DĐiểm cuối là $(2;3;1)$ vì cộng ba vectơ nhưng bỏ điểm xuất phát.

Đổi thứ tự cộng

Nếu đi theo $(0;0;1)$ trước, rồi $(2;0;0)$ và $(0;3;0)$, điểm cuối có đổi không? Quỹ đạo gấp khúc có giống hệt trước không?

AĐiểm cuối đổi vì phép cộng vectơ không giao hoán trong không gian.BĐiểm cuối và toàn bộ đường gấp khúc đều không đổi.CĐiểm cuối không đổi vì phép cộng vectơ có tính giao hoán và kết hợp. Tuy nhiên các đỉnh trung gian khác, nên đường gấp khúc đã đi khác. Từ $M$, hai điểm trung gian mới là $(1;-1;3)$ và $(3;-1;3)$.DĐiểm cuối mới là $(1;-1;3)$ vì chỉ bước đầu quyết định kết quả.

Quan sát rồi giải thích

Khi xoay hình 3D, có lúc hai cạnh khác hướng trông gần như song song trên màn hình. Có thể kết luận chúng song song trong không gian chỉ từ góc nhìn đó không?

ACó, vì hình chiếu trên màn hình giữ nguyên mọi quan hệ song song trong không gian.BHai vectơ $(2;0;0)$ và $(0;3;0)$ song song vì đều nằm trong mặt phẳng $Oxy$.CKhông thể dùng tọa độ để xét song song; chỉ xoay hình mới quyết định được.DKhông. Màn hình biểu diễn hình không gian trên mặt phẳng nên một góc nhìn có thể làm các hướng trông gần trùng nhau. Ta xoay hình để quan sát thêm và dùng tọa độ: chẳng hạn $(2;0;0)$ không cùng phương với $(0;3;0)$, nên hai vectơ này không song song.

Sản phẩm của bài thực hành

Kết quả cần có một hình thể hiện rõ ba vectơ và vectơ tổng, kèm phép cộng tọa độ. Khi đọc hình, cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của mỗi vectơ.