Thực hành: Tính và ước lượng tích phân

Hai công việc khác nhau

Phần mềm có thể giúp tìm một nguyên hàm hoặc tính gần đúng một tích phân. Ta cần đọc xem kết quả đang là biểu thức chính xác hay số gần đúng. Trong GeoGebra Classic, chọn giao diện có CAS để tính biểu thức và vùng đồ thị để quan sát hình. Các lệnh dưới đây dùng tên tiếng Anh. Có thể chọn English (US) nếu giao diện đang dùng tên lệnh khác. | Công việc | Lệnh minh họa | |---|---| | Tìm nguyên hàm | `Integral(x^2)` | | Tính tích phân xác định | `Integral(x^2,0,2)` | | Tổng hình thang trên đồ thị | `TrapezoidalSum(x^2,0,2,4)` | Tùy vùng làm việc, kết quả nguyên hàm có thể hiện hoặc không hiện hằng số. Khi viết họ nguyên hàm trên giấy, ta vẫn ghi $x^3/3+C$.

Kiểm một kết quả nguyên hàm

Với $f(x)=x^2$, một nguyên hàm là $F(x)=x^3/3$. Ta lấy đạo hàm để kiểm: $F'(x)=x^2$. Tích phân $I=\int_0^2x^2\,dx$ bằng $[x^3/3]_0^2=8/3$. Nếu màn hình cho $2{,}66667$, đó là số gần đúng của $8/3$. Ta giữ dạng phân số khi đề yêu cầu kết quả chính xác.

Tự đối chiếu bằng đạo hàm

Tìm họ nguyên hàm của $2x+\cos x$ và tính tích phân từ $0$ đến $\pi/2$. Đối chiếu bằng CAS nếu có thiết bị.

AHọ nguyên hàm là $x^2-\sin x+C$.BHọ nguyên hàm là $x^2+\sin x+C$, vì đạo hàm bằng $2x+\cos x$. Tích phân bằng $[x^2+\sin x]_0^{\pi/2}=\pi^2/4+1$.CTích phân bằng $\pi^2/4$ vì hằng số lượng giác triệt tiêu.DTích phân bằng $\pi^2/4+1+C$.

Ước lượng bằng bốn hình thang

Chia $[0;2]$ thành 4 đoạn bằng nhau, mỗi đoạn rộng $h=0{,}5$. Với $f(x)=x^2$, các giá trị cần dùng là:

Bốn hình thang xấp xỉ miền dưới y=x² trên [0;2]; các cạnh trên là dây cung nằm trên parabol.

| $x$ | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | |---|---|---|---|---|---| | $f(x)$ | 0 | 0,25 | 1 | 2,25 | 4 | Trên mỗi đoạn, nối hai điểm của đồ thị bằng một đoạn thẳng để tạo hình thang với trục hoành. Tổng diện tích là $$T_4=\frac{0{,}5}{2}\bigl[0+2(0{,}25+1+2{,}25)+4\bigr]=2{,}75.$$ Các điểm bên trong được nhân $2$ vì mỗi điểm là đầu mút chung của hai hình thang. Sai lệch so với tích phân chính xác là $2{,}75-8/3=1/12\approx0{,}0833$. Ở ví dụ này, các dây cung nằm phía trên parabol nên tổng hình thang lớn hơn tích phân.

Chỉ dùng hai hình thang

Tính $T_2$ cho $f(x)=x^2$ trên $[0;2]$. So sánh sai lệch với $T_4$.

A$T_2=(0+1+4)/2=2{,}5$.B$T_2=3$ và sai lệch bằng $1/12$.C$T_2=8/3$ vì quy tắc hình thang luôn cho kết quả chính xác với parabol.DKhi $n=2$, $h=1$ và các giá trị là $0,1,4$. Do đó $T_2=\frac12(0+2\cdot1+4)=3$. Sai lệch là $3-8/3=1/3$, lớn hơn sai lệch $1/12$ của $T_4$.

Khi quy tắc cho kết quả chính xác

Dùng 2 hình thang để tính gần đúng $\int_0^2(2x+1)\,dx$, rồi tính tích phân chính xác.

ACác giá trị tại $0,1,2$ là $1,3,5$. Tổng hình thang $T_2=(1+2\cdot3+5)/2=6$. Tích phân $[x^2+x]_0^2=6$. Hai kết quả trùng nhau vì đồ thị là đường thẳng, trùng với các cạnh trên của hình thang.B$T_2=(1+3+5)/2=4{,}5$.CTích phân chính xác bằng $5-1=4$.DHai kết quả trùng nhau chỉ là ngẫu nhiên, không liên quan đồ thị đường thẳng.

Ước lượng từ bảng đo

Lưu lượng nước (lít/phút) được ghi ở các thời điểm 0, 1, 2 phút, lần lượt là 2, 4, 5. Dùng quy tắc hình thang để ước lượng lượng nước trong hai phút. Có thể gọi đó là giá trị chính xác chỉ từ ba số đo này không?

AVới $h=1$, lượng nước ước lượng là $\frac12(2+2\cdot4+5)=7{,}5$ lít. Chỉ ba số đo chưa cho biết đầy đủ lưu lượng giữa các mốc, nên chưa thể khẳng định đây là lượng nước chính xác. Nếu bổ sung giả thiết lưu lượng thay đổi tuyến tính trên từng khoảng, kết quả sẽ chính xác trong mô hình đó.BƯớc lượng bằng $(2+4+5)/2=5{,}5$ lít.CƯớc lượng $7{,}5$ lít và chắc chắn chính xác vì dùng đủ ba mốc.DƯớc lượng $15$ lít vì cộng $2+2\cdot4+5$.

Ghi rõ kết quả chính xác hay gần đúng

Cần lưu công thức nhập và các mốc chia, rồi ghi kết quả kèm cách làm tròn. Với bài chỉ có bảng đo, nêu rõ đang ước lượng; với bài có nguyên hàm tính được, dùng kết quả chính xác để đối chiếu.