Thực hành: Lập bảng tính và đọc độ phân tán

Bắt đầu từ số liệu được ghi thống nhất

Hoạt động thống kê bắt đầu bằng việc thu thập số liệu, ghép nhóm rồi tính các số đặc trưng. Ta thực hiện các bước đó với thời gian hoàn thành một nhiệm vụ. Nếu tự thu thập, cần thống nhất nhiệm vụ, thời điểm bắt đầu, thời điểm kết thúc và đơn vị phút. Có thể ghi theo số thứ tự lượt làm. Dưới đây là bảng minh họa để thực hành, không phải kết quả khảo sát thực tế. | Thời gian (phút) | $[2;4)$ | $[4;6)$ | $[6;8)$ | |---|---|---|---| | Số lượt | 3 | 4 | 3 | Có 10 lượt làm. Điểm đại diện của ba nhóm lần lượt là $3,5,7$. Một lượt đúng $4$ phút được xếp vào $[4;6)$ vì nhóm trước không lấy đầu mút phải.

Lập các cột cần tính

Ta lập bảng phụ để tính số trung bình và phương sai. | Điểm đại diện $x_i$ | Tần số $f_i$ | $f_ix_i$ | $f_ix_i^2$ | |---|---|---|---| | 3 | 3 | 9 | 27 | | 5 | 4 | 20 | 100 | | 7 | 3 | 21 | 147 | | Tổng | 10 | 50 | 274 | Suy ra $\bar x=50/10=5$ phút; $s^2=274/10-5^2=2{,}4\,\mathrm{phút}^2$, $s=\sqrt{2{,}4}\approx1{,}55$ phút. Ta chỉ làm tròn kết quả cuối để tránh tích lũy sai số.

Kiểm lại bằng độ lệch

Dùng $\bar x=5$ và bảng trên, tính lại phương sai bằng $\sum f_i(x_i-\bar x)^2/n$.

ATổng có trọng số là $8$, nên $s^2=0{,}8$.BTổng bình phương độ lệch có trọng số là $3(3-5)^2+4(5-5)^2+3(7-5)^2=24$. Chia cho $10$ được $s^2=2{,}4$, trùng với cách tính ở ví dụ.C$s^2=24$ vì đó là tổng bình phương độ lệch.D$s^2=\sqrt{24/10}\approx1{,}55$.

Đưa bảng vào bảng tính

Đặt bốn cột như bảng trên ở A, B, C, D; hàng 1 ghi tên cột, các hàng 2–4 ghi dữ liệu. Nhập `=A2*B2` vào C2 và `=B2*A2^2` vào D2, rồi sao chép xuống hàng 4. | Ô | Công thức | Ý nghĩa | |---|---|---| | B5 | `=SUM(B2:B4)` | Tổng tần số | | C5 | `=SUM(C2:C4)` | Tổng $f_ix_i$ | | D5 | `=SUM(D2:D4)` | Tổng $f_ix_i^2$ | | F2 | `=C5/B5` | Số trung bình | | F3 | `=D5/B5-F2^2` | Phương sai | | F4 | `=SQRT(F3)` | Độ lệch chuẩn | Kết quả cần lần lượt là $5$, $2{,}4$ và khoảng $1{,}55$. Không tính độ lệch chuẩn chỉ từ ba điểm $3,5,7$ mà bỏ cột tần số, vì cách làm đó đã thay đổi mẫu số liệu.

So sánh hai mẫu

Mẫu B dùng cùng các nhóm $[2;4)$, $[4;6)$, $[6;8)$ nhưng có tần số $1,8,1$. Tính số trung bình, phương sai và so sánh độ phân tán với mẫu A ở đầu bài.

AVới B, $\bar x=(3+40+7)/10=5$. Phương sai là $[(3-5)^2+8(5-5)^2+(7-5)^2]/10=0{,}8$. Do đó $s_B\approx0{,}89$ phút, nhỏ hơn $s_A\approx1{,}55$. Hai mẫu có cùng trung bình nhưng B tập trung hơn quanh trung bình.BMẫu B có trung bình $5$ và phương sai $8$, nên phân tán hơn A.CMẫu B có trung bình $5$, phương sai $0{,}8$ nhưng phân tán hơn vì $0{,}8<2{,}4$.DMẫu B có trung bình $50$ vì tổng có trọng số bằng $50$.

Tính thêm tứ phân vị

Tính $Q_1,Q_3$ và khoảng tứ phân vị cho mẫu A có tần số $3,4,3$.

A$Q_1=3$, $Q_3=7$, nên $\Delta_Q=4$ vì lấy trung điểm nhóm ngoài.B$Q_1=11/3$, $Q_3=19/3$, nên $\Delta_Q=30/3=10$.CVị trí $7{,}5$ thuộc nhóm giữa vì trước nhóm cuối có $7$ lượt.DCó $n=10$. Vị trí $2{,}5$ ở nhóm đầu, nên $Q_1=2+\frac{2{,}5}{3}\cdot2=\frac{11}3$. Vị trí $7{,}5$ ở nhóm cuối, trước nhóm có 7 lượt, nên $Q_3=6+\frac{7{,}5-7}{3}\cdot2=\frac{19}3$. Khoảng tứ phân vị là $8/3\approx2{,}67$ phút.

Viết nhận xét từ số liệu

Một báo cáo kết luận: “Mẫu B có độ lệch chuẩn nhỏ hơn, nên mọi người ở nhóm B đều làm nhanh hơn nhóm A”. Hãy viết lại kết luận phù hợp.

AGiữ nguyên kết luận vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn chứng minh mọi người đều nhanh hơn.BMẫu B nhanh hơn vì có độ lệch chuẩn nhỏ hơn, dù hai trung bình bằng nhau.CCó thể viết: “Trong hai mẫu ghép nhóm này, thời gian trung bình đều là 5 phút. Mẫu B có độ lệch chuẩn nhỏ hơn nên thời gian ít phân tán hơn quanh trung bình.” Chưa có căn cứ nói mọi người ở B đều nhanh hơn A, cũng chưa thể suy rộng cho các nhóm khác.DCó thể suy rộng rằng mọi nhóm tương tự B đều ít phân tán hơn.

Tự thực hiện với một mẫu khác

Có thể thu thập một mẫu nhỏ, ghi cách đo, lập bảng ghép nhóm và dùng mẫu bảng tính trên. Bản báo cáo cần có bảng số liệu, công thức hoặc bảng tính, kết quả có đơn vị và một nhận xét đúng phạm vi mẫu đã quan sát.