Tập xác định, chẵn lẻ và chu kì

Sin và cos xác định với mọi x thực. Tanx cần cosx≠0 nên loại $x=\pi/2+k\pi$; cotx cần sinx≠0 nên loại x=kπ, với k nguyên. Tập xác định nói về x; tập giá trị nói về y. Chẳng hạn sinx có tập xác định R nhưng chỉ nhận giá trị từ −1 đến 1. Với biểu thức hợp, đặt điều kiện lên toàn bộ góc. Ví dụ tan(2x) cần $2x\ne\pi/2+k\pi$, không chỉ loại x=π/2+kπ.

Trước hết tập xác định phải đối xứng qua 0: x thuộc miền thì −x cũng thuộc miền. Khi đó, f chẵn nếu f(−x)=f(x); f lẻ nếu f(−x)=−f(x). Cos là hàm chẵn; sin, tan, cot là hàm lẻ trên các tập xác định của chúng. Đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục tung; đồ thị hàm lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng. Một hàm có thể không chẵn cũng không lẻ. Không kết luận chỉ từ tên “sin” hoặc “cos” nếu công thức còn dịch góc, cộng hoặc nhân biểu thức khác.

Hàm tuần hoàn lặp lại sau một độ dịch T>0 phù hợp với miền xác định: f(x+T)=f(x), các điểm x±T vẫn thuộc miền. Khi có độ dịch dương nhỏ nhất như vậy, nó được gọi là chu kì. Sinx và cosx có chu kì 2π; tanx và cotx có chu kì π. Với A≠0,b≠0, các hàm $A\sin(bx+c)+d$ và $A\cos(bx+c)+d$ có chu kì $2\pi/|b|$. Tan(bx+c), cot(bx+c) có chu kì $\pi/|b|$. Nếu A=0 hoặc b=0 trong biểu thức sin/cos trên thì hàm trở thành hằng; không dùng công thức để khẳng định một chu kì nhỏ nhất.

Kiểm miền trước, thay −x khi xét chẵn lẻ, tìm hệ số góc để tính chu kì. Ba tính chất này liên quan nhưng không thay thế nhau.