Nhóm đông hơn góp nhiều hơn
Gọi $x_i$ là giá trị đại diện, $n_i$ là tần số nhóm thứ i; $n=n_1+\cdots+n_k>0$. Số trung bình của mẫu ghép nhóm là:
$$\overline x=\frac{n_1x_1+\cdots+n_kx_k}{n}.$$
Ta lấy trung điểm nhân số quan sát trong nhóm để có tổng đại diện, cộng các tổng ấy rồi chia cho cỡ mẫu. Đây là số trung bình của mẫu **ghép nhóm**, dùng để xấp xỉ số trung bình của dữ liệu gốc.
Chỉ lấy trung bình cộng các trung điểm khi các tần số bằng nhau, hoặc có căn cứ riêng khiến hai phép tính trùng kết quả.
Tính theo từng nhóm
Xét bảng minh họa:
| Thời gian (phút) | $[0;10)$ | $[10;20)$ | $[20;30)$ | $[30;40)$ |
|---|---:|---:|---:|---:|
| Tần số | 4 | 8 | 6 | 2 |
Trung điểm là 5,15,25,35. Tổng đại diện bằng $4\cdot5+8\cdot15+6\cdot25+2\cdot35=360$. Cỡ mẫu 20 nên $\overline x=360/20=18$ phút.
Lấy $(5+15+25+35)/4=20$ phút sẽ coi bốn nhóm đông như nhau, trong khi tần số của chúng khác nhau.
Mẫu số của công thức
Bảng có ba nhóm, tần số 2,6,2. Sau khi cộng các tích tần số × trung điểm, ta chia cho
3 là số nhóm, không phải số quan sát.
6 chỉ là tần số một nhóm.
Đúng: chia cho tổng tần số.
2 không phải tổng tần số.
Lời giải
Cỡ mẫu $n=2+6+2=10$, nên chia cho 10.
Gộp hai nhóm có cỡ khác nhau
Nhóm I có 10 quan sát, trung bình 12; nhóm II có 20 quan sát, trung bình 15. Cùng đại lượng và đơn vị, trung bình của cả hai nhóm là bao nhiêu?
Tổng của hai nhóm được tính từ cỡ mẫu nhân trung bình: $10\cdot12+20\cdot15=420$. Chia cho tổng cỡ mẫu 30, ta được 14.
Nếu các trung bình ban đầu là xấp xỉ từ bảng ghép nhóm, kết quả gộp cũng là xấp xỉ. Nhóm II đông gấp đôi, nên đóng góp gấp đôi trọng số của nhóm I.
Tính một bảng ngắn
Các nhóm $[0;2)$, $[2;4)$, $[4;6)$ có tần số 2,4,2. Tính trung bình ghép nhóm.
Kết quả trùng hợp nhưng cách tính bỏ tần số; trung bình ghép nhóm phải có trọng số.
Các số 2,4,2 là tần số, không phải giá trị đại diện.
Mẫu số phải là cỡ mẫu 8, không phải số nhóm 3.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Trung điểm 1,3,5; $\overline x=(2\cdot1+4\cdot3+2\cdot5)/8=3$.
Hai nhóm bằng cỡ
Hai nhóm đều có 15 quan sát, trung bình lần lượt 8 và 12. Tính trung bình chung.
Sau khi cộng hai trung bình còn phải chia theo tổng trọng số.
Số 15 là cỡ nhóm, không phải giá trị trung bình.
Hai nhóm có cỡ bằng nhau nên hai trung bình được lấy với trọng số bằng nhau.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
$(15\cdot8+15\cdot12)/30=10$. Vì hai cỡ bằng nhau, cũng có thể lấy $(8+12)/2$.
Tìm tần số chưa biết
Hai nhóm có trung điểm 5 và 15, tần số tương ứng 2 và m. Biết trung bình ghép nhóm bằng 11. Tìm m.
Đề không yêu cầu hai tần số bằng nhau; phải dùng phương trình trung bình có trọng số.
Tần số chưa biết không bằng giá trị trung bình; cần giải phương trình.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Chuyển vế đúng cho $4m=12$; tần số cũng không thể âm.
Lời giải
Ta có $(10+15m)/(2+m)=11$. Nhân hai vế với 2+m rồi thu gọn: $10+15m=22+11m$, nên $4m=12$ và m=3. Tần số tìm được là số nguyên không âm.
Kiểm xem kết quả hợp lí không
Các trung điểm có tần số dương đều nằm từ 10 đến 30. Trung bình ghép nhóm có thể bằng 35 không?
Trung bình trọng số không âm không thể vượt giá trị lớn nhất 30.
Tăng cỡ mẫu không làm trung bình vượt miền của các giá trị đại diện.
Chỉ có thể kết luận trung bình nằm trong đoạn $[10;30]$, chưa biết bằng 20.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Không. Trung bình có trọng số không âm phải nằm từ trung điểm nhỏ nhất đến trung điểm lớn nhất, nên không vượt 30.
Điều cần nhớ
Trung bình là tổng có trọng số chia tổng tần số. Giữ đủ chữ số trong phép tính và chỉ làm tròn ở kết quả cuối theo yêu cầu đề.
Đang học