Đo các giá trị xa trung bình đến đâu
Gọi xᵢ là trung điểm nhóm, nᵢ là tần số, n là cỡ mẫu và $\overline x$ là trung bình ghép nhóm. Phương sai và độ lệch chuẩn là:
$$s^2=\frac{\sum_i n_i(x_i-\overline x)^2}{n},\qquad s=\sqrt{s^2}.$$
Ta trừ trung bình, bình phương độ lệch, nhân tần số rồi chia cỡ mẫu. Có thể tính tương đương bằng:
$$s^2=\frac{\sum_i n_ix_i^2}{n}-(\overline x)^2.$$
Trong công thức phương sai của bài này, mẫu số là n. Một số máy tính còn cho phương sai hiệu chỉnh với mẫu số n−1; cần chọn đúng đại lượng đề hỏi. Nếu dữ liệu đo bằng phút thì s² có đơn vị phút², còn s có đơn vị phút.
Tính từ bình phương độ lệch
Các nhóm $[0;2)$, $[2;4)$, $[4;6)$ có tần số 2,4,2. Trung điểm là 1,3,5 và $\overline x=3$.
| Trung điểm | Tần số | Bình phương độ lệch với 3 | Tích với tần số |
|---:|---:|---:|---:|
| 1 | 2 | 4 | 8 |
| 3 | 4 | 0 | 0 |
| 5 | 2 | 4 | 8 |
Tổng cuối là 16, cỡ mẫu n=8. Vậy $s^2=16/8=2$ và $s=\sqrt2\approx1{,}41$. Số 16 mới là tổng, chưa phải phương sai.
Đừng nhầm phương sai với độ lệch chuẩn
Phương sai của mẫu bằng 9 cm². Độ lệch chuẩn bằng
Cần lấy căn bậc hai.
Bình phương thêm không cho độ lệch chuẩn.
Đúng: căn bậc hai không âm, cùng đơn vị dữ liệu.
Độ lệch chuẩn không âm.
Lời giải
$s=\sqrt9=3$ cm.
Dùng công thức tính gọn
Với bảng trung điểm 5,15,25,35 và tần số 4,8,6,2, đã tính được n=20 và $\overline x=18$ phút.
Tổng $\sum n_ix_i^2=4\cdot25+8\cdot225+6\cdot625+2\cdot1225=8100$. Do đó:
$$s^2=8100/20-18^2=81\text{ phút}^2,\qquad s=9\text{ phút}.$$
Ta bình phương từng trung điểm trong tổng, rồi mới trừ **bình phương của trung bình**. Không thay $18^2$ bằng 18.
Tính từ bảng hai nhóm
Nhóm $[0;2)$ có tần số 1, nhóm $[2;4)$ có tần số 3. Tính trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
Phải dùng tần số làm trọng số; nhóm thứ hai xuất hiện ba lần.
Còn phải chia tổng có trọng số cho cỡ mẫu $4$, được $0{,}75$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, xấp xỉ $0{,}866$.
Lời giải
Trung điểm 1,3; $\overline x=(1+9)/4=2{,}5$. $s^2=[1(1-2{,}5)^2+3(3-2{,}5)^2]/4=0{,}75$. $s=\sqrt{0{,}75}\approx0{,}866$.
Chọn mẫu số
Tổng có trọng số các bình phương độ lệch là 120, cỡ mẫu 30. Tính phương sai ghép nhóm s².
Công thức mẫu ghép nhóm đang học chia cho cỡ mẫu $n=30$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Mẫu số là tổng tần số, không phải số nhóm.
Lấy căn cho độ lệch chuẩn; phương sai chính là thương $4$.
Lời giải
$s^2=120/30=4$. Không chia cho số nhóm hoặc cho 29 trong công thức này.
Phương sai âm?
Một phép tính cho s²=−2. Kết quả có thể đúng không?
Phương sai dùng bình phương độ lệch nên mọi số hạng đều không âm.
Dấu của số trung bình không ảnh hưởng tính không âm của bình phương độ lệch.
Không được chữa kết quả bằng trị tuyệt đối; cần tìm và sửa sai sót trong phép tính.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Không. Phương sai là trung bình có trọng số của các bình phương nên không âm. Cần kiểm lại trung bình, bình phương và phép chia; tránh làm tròn quá sớm.
Cộng cùng một số
Nếu cộng 5 vào mọi số đo và đồng thời dịch các nhóm tương ứng thêm 5, độ lệch chuẩn ghép nhóm thay đổi không?
Cộng cùng một hằng số chỉ dịch tâm dữ liệu, không đổi các độ lệch.
Các độ lệch so với trung bình giữ nguyên, nên cả phương sai lẫn độ lệch chuẩn không đổi.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Cả giá trị và trung bình cùng tăng $5$, nên hiệu không thay đổi.
Lời giải
Không. Trung bình cũng tăng 5, nên mỗi độ lệch $(x_i+5)-(\overline x+5)=x_i-\overline x$ giữ nguyên. Phương sai và độ lệch chuẩn không đổi.
Điều cần nhớ
Dùng trung điểm, giữ tần số, chia cho n rồi lấy căn nếu hỏi độ lệch chuẩn. Hai công thức phương sai tương đương; chọn cách tính gọn và chỉ làm tròn ở cuối.
Đang học