Pháp tuyến và phương trình mặt phẳng

Pháp tuyến chỉ phương vuông góc với mặt phẳng

Vectơ $\vec n\ne\vec0$ có giá vuông góc với mặt phẳng (P) được gọi là **vectơ pháp tuyến** của (P). Nếu $\vec n$ là pháp tuyến thì $k\vec n$ cũng là pháp tuyến với mọi $k\ne0$.

Mặt phẳng P qua M₀; vectơ n vuông góc với mặt phẳng.

Cho $M_0(x_0;y_0;z_0)$ thuộc (P), pháp tuyến $\vec n=(A;B;C)$. Điểm $M(x;y;z)$ thuộc (P) khi $\overrightarrow{M_0M}\cdot\vec n=0$. Từ đó: $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$$ Khai triển được $Ax+By+Cz+D=0$, với $A,B,C$ không đồng thời bằng 0. Đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Ba hệ số của x,y,z cho một pháp tuyến; hằng số D không nằm trong bộ ba ấy.

Đọc pháp tuyến và kiểm điểm thuộc mặt phẳng

Cho $(P):2x-3y+z+5=0$. Một pháp tuyến là $\vec n=(2;-3;1)$. Vectơ $(-4;6;-2)=-2\vec n$ cũng là pháp tuyến. Điểm $M(0;1;-2)$ thuộc (P) vì $2\cdot0-3\cdot1-2+5=0$. Điểm O không thuộc (P) vì thay $(0;0;0)$ vào vế trái được 5. Thay tọa độ vào phương trình là cách trực tiếp để kiểm một điểm có nằm trên mặt phẳng hay không.

Chọn pháp tuyến

Mặt phẳng $x-2y+3z-4=0$ nhận vectơ nào sau đây làm pháp tuyến?

A$(1;-2;-4)$B$(1;-2;3)$C$(0;0;0)$D$(1;2;3)$

Viết mặt phẳng qua điểm có pháp tuyến cho trước

Viết mặt phẳng đi qua $A(1;2;-1)$ và nhận $\vec n=(2;-1;3)$ làm pháp tuyến. Thay vào dạng qua điểm: $$2(x-1)-(y-2)+3(z+1)=0.$$ Khai triển được $2x-y+3z+3=0$. Ta kiểm lại bằng cách thay A: $2-2-3+3=0$. Các hệ số $(2;-1;3)$ đúng với pháp tuyến đã cho, nên phương trình thỏa cả hai điều kiện.

Các mặt phẳng tọa độ

Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$ và pháp tuyến $(0;0;1)$. Tương tự, $(Oyz):x=0$ có pháp tuyến $(1;0;0)$; $(Oxz):y=0$ có pháp tuyến $(0;1;0)$. Phương trình mặt phẳng không cần có đủ cả ba biến. Chẳng hạn $z=3$ vẫn là một mặt phẳng. Điều kiện chỉ yêu cầu ba hệ số không đồng thời bằng 0.

Mặt phẳng vuông góc một trục

Viết mặt phẳng qua $A(2;-1;3)$ và vuông góc Oz.

AChọn pháp tuyến $(0;0;1)$ cùng phương Oz. Phương trình là $z-3=0$.BMặt phẳng là $x-2=0$ vì đi qua điểm có hoành độ $2$.CMặt phẳng là $z+3=0$.DMặt phẳng là $x+2y-z=0$.

Mặt phẳng qua gốc

Viết mặt phẳng qua O và pháp tuyến $(1;2;-1)$.

ADùng điểm $(0;0;0)$ được $x+2y-z=0$. Hằng số bằng 0 vì mặt phẳng đi qua O.B$x+2y-z=1$.C$x+2y+z=0$.D$2x+y-z=0$.

Nhận biết dạng phương trình

$x^2+y+z=1$ có phải phương trình tổng quát của một mặt phẳng không?

ACó, vì phương trình chứa đủ ba biến $x,y,z$.BKhông. Dạng tổng quát mặt phẳng là bậc nhất theo x,y,z, còn phương trình này có $x^2$.CCó, với pháp tuyến $(2x;1;1)$.DKhông, vì vế phải phải bằng $0$ mới là phương trình mặt phẳng.

Hai cách viết cùng mặt phẳng

$x-y+2z-3=0$ và $-2x+2y-4z+6=0$ có biểu diễn cùng mặt phẳng không?

AKhông, vì hai bộ hệ số khác nhau.BCó. Phương trình thứ hai là phương trình thứ nhất nhân với −2, nên có cùng tập nghiệm.CHai mặt phẳng song song phân biệt vì các pháp tuyến cùng phương.DHai mặt phẳng vuông góc vì hệ số đầu trái dấu.

Điều cần nhớ

Một điểm và một pháp tuyến khác vectơ không xác định duy nhất một mặt phẳng. Sau khi viết, kiểm lại điểm đi qua và ba hệ số của các biến.