Ôn tập học kì I: Đạo hàm, vectơ và thống kê

Phạm vi ôn tập

Bài này hệ thống ba mạch kiến thức của học kì I: ứng dụng đạo hàm, vectơ trong không gian và độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. | Phần | Kiến thức và kĩ năng trọng tâm | |---|---| | Đạo hàm | Xét biến thiên, tìm cực trị và lớn nhất/nhỏ nhất, tiệm cận, khảo sát đồ thị, lập bài toán tối ưu | | Vectơ | Dùng quy tắc cộng, tọa độ, độ dài, tích vô hướng, giải bài về lực hoặc chuyển động | | Thống kê | Đọc bảng ghép nhóm, tính khoảng biến thiên, tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn | Có thể làm các câu luyện trước rồi xem lời giải. Khi chưa nhớ một công thức, cần quay lại bài ôn chương tương ứng thay vì đoán phép tính.

Đọc thông tin từ một hàm phân thức

Cho $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$. Tập xác định là $\mathbb R\setminus\{1\}$. Chia đa thức được $f(x)=x+1+\dfrac2{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$ và tiệm cận đứng là $x=1$. Đạo hàm $f^{\prime}(x)=1-\dfrac2{(x-1)^2}$ bằng $0$ tại $x=1\pm\sqrt2$. Dấu đạo hàm dương khi $|x-1|>\sqrt2$, âm khi $0<|x-1|<\sqrt2$. Vậy hàm đồng biến trên $(-\infty;1-\sqrt2)$ và $(1+\sqrt2;+\infty)$; nghịch biến trên $(1-\sqrt2;1)$ và $(1;1+\sqrt2)$. Điểm $x=1$ phải tách riêng vì hàm không xác định ở đó. Giá trị cực đại là $2-2\sqrt2$, cực tiểu là $2+2\sqrt2$; chúng nằm ở hai nhánh khác nhau.

Đơn điệu và giá trị trên đoạn

Cho $f(x)=x^3-3x^2+1$. Tìm các khoảng đơn điệu, hai giá trị cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên $[-1;3]$.

AĐạo hàm $f^{\prime}(x)=3x(x-2)$ dương trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$, âm trên $(0;2)$. Cực đại bằng $f(0)=1$, cực tiểu bằng $f(2)=-3$. Trên đoạn đã cho, thêm $f(-1)=-3$, $f(3)=1$; vì vậy lớn nhất là $1$ tại $0,3$, nhỏ nhất là $-3$ tại $-1,2$.BHàm tăng trên $(0;2)$, giảm ngoài; cực tiểu $1$, cực đại $-3$.CGTLN là $1$ tại $0$, GTNN là $-3$ tại $2$.DChỉ cần hai cực trị để tìm GTLN, GTNN; không xét hai đầu đoạn.

Lập hàm diện tích

Dùng 36 m hàng rào quây ba cạnh của mảnh đất hình chữ nhật; cạnh còn lại tựa vào một bức tường thẳng. Bỏ qua bề dày rào. Tìm diện tích lớn nhất.

AGọi hai cạnh vuông góc tường có độ dài $x$ m, cạnh song song tường dài $36-2x$ m, với $0<x<18$. Diện tích $S=x(36-2x)$, đạo hàm $S^{\prime}=36-4x$ đổi từ dương sang âm tại $9$. Do đó diện tích lớn nhất là $S(9)=162\,\mathrm{m}^2$, với hai kích thước $9$ m và $18$ m.BĐặt $x+y=36$, diện tích lớn nhất $324$ m² khi $x=y=18$.CDiện tích lớn nhất $162$ m² với hai kích thước $9$ m và $9$ m.DChọn $x=18$, cạnh còn lại bằng $0$ vì đây là đầu mút lớn nhất.

Gắn vectơ vận tốc với vị trí

Trong hệ tọa độ có đơn vị mét, một vật xuất phát từ $A(1;2;0)$ và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\vec v=(2;-1;2)$ m/s. Sau $3$ giây, độ dời là $3\vec v=(6;-3;6)$ m, nên vị trí là $B(7;-1;6)$. Tốc độ là $\lVert\vec v\rVert=\sqrt{4+1+4}=3$ m/s. Vì vật đi thẳng đều không đổi hướng, quãng đường trong $3$ giây là $3\cdot3=9$ m. Ta kiểm lại $AB=\sqrt{6^2+(-3)^2+6^2}=9$ m.

Tọa độ và góc

Cho $A(1;0;0)$, $B(2;1;0)$, $C(0;1;0)$. Tính góc $BAC$ và tọa độ trọng tâm tam giác.

AGóc $45^\circ$ vì hai vectơ có cùng độ dài $\sqrt2$.BGóc $90^\circ$ và trọng tâm $G(1;1;0)$.CTa có $\overrightarrow{AB}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;1;0)$, tích vô hướng bằng $0$. Hai vectơ khác $\vec0$, nên góc $BAC=90^\circ$. Trọng tâm là $G(1;2/3;0)$.DDùng $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CA}$ được góc $BAC=180^\circ$.

Vectơ trong hình hộp

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BDA^{\prime}$. Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo ba vectơ cạnh xuất phát từ $A$.

A$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$.B$\overrightarrow{AG}=\frac12\overrightarrow{AC'}$.CVới trọng tâm tam giác, $3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA^{\prime}}$. Vì vậy $\overrightarrow{AG}=\frac13(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA^{\prime}})=\frac13\overrightarrow{AC^{\prime}}$.D$\overrightarrow{AG}=\frac13(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA'})$.

Một bảng thống kê tổng hợp

Thời gian đọc sách (phút) được ghép thành các nhóm $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$ có tần số $2,6,2$. Tính khoảng biến thiên, số trung bình, độ lệch chuẩn và khoảng tứ phân vị.

A$R=20$, $\bar x=15$, $s=40$.B$\bar x=15$, $s=2\sqrt{10}$, nhưng $Q_1=5,Q_3=25$ theo điểm đại diện.C$\Delta_Q=50/3$ vì cộng $Q_1,Q_3$.DCó $n=10$, điểm đại diện $5,15,25$. $R=30$, $\bar x=15$ phút. Bình phương các độ lệch lần lượt là $100,0,100$. Phương sai là $$s^2=\frac{2\cdot100+6\cdot0+2\cdot100}{10}=40,$$ nên $s=2\sqrt{10}\approx6{,}32$ phút. Hai vị trí $2{,}5$ và $7{,}5$ đều thuộc nhóm giữa: $Q_1=10+\frac{0{,}5}{6}\cdot10=65/6$, $Q_3=10+\frac{5{,}5}{6}\cdot10=115/6$. Vì vậy $\Delta_Q=25/3\approx8{,}33$ phút.

Cùng trung bình, khác độ phân tán

Một mẫu khác dùng cùng các nhóm ở câu trước nhưng tần số $4,2,4$. Có cần tính lại từ đầu để dự đoán mẫu nào phân tán hơn không? Tính phương sai để xác nhận.

AMẫu mới có nhiều dữ liệu ở hai nhóm ngoài hơn và ít ở nhóm giữa hơn, nên ta dự đoán phân tán hơn. Do đối xứng, trung bình vẫn là $15$. Phương sai mới $[4\cdot100+2\cdot0+4\cdot100]/10=80>40$, xác nhận dự đoán.BMẫu mới ít phân tán hơn vì có nhiều dữ liệu hơn ở hai nhóm ngoài.CPhương sai vẫn bằng $40$ vì trung bình vẫn bằng $15$.DPhương sai mới bằng $800$ vì tổng bình phương có trọng số là $800$.

Chọn phần cần ôn tiếp

Nếu sai khi lập bảng dấu hoặc so sánh giá trị, xem lại ôn chương đạo hàm. Nếu nhầm tọa độ điểm với vectơ, xem ôn chương vectơ. Nếu bỏ tần số hoặc chọn nhầm nhóm chứa tứ phân vị, xem lại ôn chương thống kê rồi làm lại câu tương ứng.