Ôn tập cuối năm Toán lớp 12

Hệ thống hóa sáu chương

Bài cuối năm kết nối các phần đã học. Với mỗi câu, ta xác định đại lượng cần tìm rồi chọn kiến thức phù hợp. | Cần giải quyết | Kiến thức thường dùng | |---|---| | Khi nào hàm đạt lớn nhất, nhỏ nhất? | Đạo hàm và so sánh giá trị | | Từ tốc độ thay đổi tìm lượng tích lũy | Nguyên hàm, tích phân | | Từ vị trí tìm hướng, độ dài, góc | Vectơ và tọa độ | | Viết phương trình hình, tìm giao và khoảng cách | Mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu | | So sánh mức phân tán | Các số đặc trưng của mẫu ghép nhóm | | Tính xác suất khi có thêm thông tin | Xác suất có điều kiện, toàn phần, Bayes | Trong mỗi lời giải, cần ghi điều kiện hoặc miền đang xét, thực hiện phép tính và kết luận theo đúng đại lượng đề hỏi.

Đạo hàm và tích phân trong cùng bài chuyển động

Một vật chuyển động trên đường thẳng có vận tốc $v(t)=6-2t$ m/s, $0\le t\le4$. Ta cần tìm vị trí xa nhất theo chiều dương so với điểm xuất phát và tổng quãng đường. Độ dời đến thời điểm $t$ là $s(t)=\int_0^t(6-2u)\,du=6t-t^2$. Đạo hàm $s^{\prime}(t)=6-2t$ dương trước $t=3$ và âm sau đó, nên độ dời lớn nhất là $s(3)=9$ m. Vật đổi chiều tại giây thứ $3$. Quãng đường trong bốn giây bằng $\int_0^3(6-2t)\,dt-\int_3^4(6-2t)\,dt=9+1=10$ m. Độ dời cuối cùng chỉ bằng $s(4)=8$ m vì vật đã quay lại $1$ m.

Khảo sát và tìm giá trị lớn nhất

Cho $f(x)=-x^3+3x+2$. Tìm khoảng đồng biến, hai giá trị cực trị và giá trị lớn nhất trên $[-2;2]$.

AĐạo hàm $f^{\prime}(x)=3(1-x^2)$ dương trên $(-1;1)$ và âm ở hai khoảng ngoài. Giá trị cực tiểu là $f(-1)=0$, cực đại là $f(1)=4$. Thêm $f(-2)=4$, $f(2)=0$, nên giá trị lớn nhất trên đoạn là $4$, đạt tại $-2$ và $1$.BHàm giảm trên $(-1;1)$ và tăng ngoài; cực đại $0$, cực tiểu $4$.CGTLN bằng $4$ chỉ tại $x=1$.DGTLN bằng $0$ vì hai đầu đoạn có giá trị $0$.

Khảo sát một hàm phân thức

Cho $g(x)=\dfrac{3x-1}{x+1}$. Tìm tập xác định, chiều biến thiên, các tiệm cận và giao với hai trục.

ATiệm cận đứng $x=1$, ngang $y=3$; hàm nghịch biến.BGiao $Ox$ tại $(-1/3;0)$ và $Oy$ tại $(0;1)$.CHàm đồng biến trên toàn $\mathbb R$ vì $g'>0$.DTập xác định là $\mathbb R\setminus\{-1\}$. Viết $g=3-4/(x+1)$ được tiệm cận đứng $x=-1$, ngang $y=3$. $g^{\prime}(x)=4/(x+1)^2>0$, nên hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$. Giao với $Ox$ là $(1/3;0)$, với $Oy$ là $(0;-1)$.

Nguyên hàm có điều kiện

Tìm $F$ trên $(0;+\infty)$ biết $F^{\prime}(x)=2x+1/x$ và $F(1)=4$. Tính $\int_1^2F^{\prime}(x)\,dx$.

A$F=x^2+1/x+C$.BĐiều kiện cho $C=4$, nên tích phân bằng $4+\ln2$.CTích phân bằng $F(1)-F(2)=-3-\ln2$.DTrên khoảng dương, $F(x)=x^2+\ln x+C$. Điều kiện $F(1)=4$ cho $C=3$. Tích phân bằng $F(2)-F(1)=3+\ln2$.

Diện tích và thể tích từ cùng một miền

Miền phẳng nằm giữa $y=\sqrt x$, trục hoành và $x=0$, $x=4$. Tính diện tích miền và thể tích khi quay miền quanh $Ox$.

ADiện tích và thể tích đều dùng $\int_0^4\sqrt x\,dx=16/3$.BDiện tích $8$, thể tích $16\pi/3$.C$S=16/3$, $V=\pi\int_0^4\sqrt x\,dx=16\pi/3$.DDiện tích $S=\int_0^4\sqrt x\,dx=[\frac23x^{3/2}]_0^4=16/3$. Khi quay quanh $Ox$, thiết diện có diện tích $\pi(\sqrt x)^2=\pi x$, nên $V=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi$. Hai đại lượng dùng hai biểu thức khác nhau dưới dấu tích phân.

Kết hợp vectơ và mặt phẳng

Cho $A(2;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;2)$. Các vectơ $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;0;2)$ đều vuông góc với $\vec n=(1;1;1)$ vì tích vô hướng bằng $0$. Ba điểm không thẳng hàng, nên mặt phẳng qua chúng là $x+y+z-2=0$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng bằng $2/\sqrt3$. Đường vuông góc qua $O$ có tọa độ $(t;t;t)$. Thay vào mặt phẳng được $3t=2$, nên hình chiếu là $H(2/3;2/3;2/3)$. Kết quả $OH=2/\sqrt3$ khớp với công thức khoảng cách.

Vectơ, góc và trung điểm

Cho $A(0;1;2)$, $B(2;1;0)$, $C(0;3;2)$. Tính góc $BAC$, độ dài $AB$ và trung điểm $AB$.

AGóc $45^\circ$, $AB=4$, trung điểm $(2;2;2)$.BGóc $90^\circ$, $AB=2\sqrt2$, trung điểm $(1;1;1)$ nhưng dùng $BA,BC$.C$AB=\sqrt{2+2}=2$.DHai vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;0;-2)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;2;0)$ có tích vô hướng $0$, nên góc $BAC=90^\circ$. $AB=2\sqrt2$; trung điểm là $(1;1;1)$.

Mặt phẳng và hình chiếu

Tìm hình chiếu của $M(3;0;0)$ lên $(P):x+y+z=0$, rồi tìm điểm đối xứng của $M$ qua $(P)$.

AHình chiếu là $(3;0;0)$ vì $M$ đã nằm trên trục $Ox$.B$H(2;-1;-1)$ và điểm đối xứng chính là $H$.CĐường vuông góc qua $M$ có $(x;y;z)=(3+t;t;t)$. Thay vào $(P)$: $3+3t=0$, nên $t=-1$ và hình chiếu $H(2;-1;-1)$. Vì $H$ là trung điểm của $MM^{\prime}$, điểm đối xứng là $M^{\prime}=2H-M=(1;-2;-2)$.DĐiểm đối xứng $(-1;2;2)$.

Mặt cầu có đường kính cho trước

Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$, với $A(0;0;0)$, $B(2;4;4)$. Mặt phẳng $z=5$ có tiếp xúc mặt cầu không?

ATâm là $B(2;4;4)$ và bán kính $6$.BTâm $(1;2;2)$, $R=3$, nhưng $z=5$ không giao vì $5>3$.CMặt phẳng tiếp xúc tại $(1;2;2)$.DTâm là trung điểm $I(1;2;2)$. $AB=\sqrt{4+16+16}=6$, nên bán kính $R=3$. Phương trình là $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=9$. Khoảng cách từ $I$ đến $z=5$ bằng $3=R$, nên mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại $(1;2;5)$.

Đọc bảng thống kê

Các nhóm khối lượng $[100;110)$, $[110;120)$, $[120;130)$ (gam) có tần số $5,10,5$. Tính số trung bình, độ lệch chuẩn và khoảng tứ phân vị.

A$\bar x=115$, phương sai $50$, nên độ lệch chuẩn $50$ g.B$Q_1=105,Q_3=125$ nên $\Delta_Q=20$ g.CTrung bình là $(105+115+125)/3=115$, nên không cần tần số trong mọi bài.DĐiểm đại diện là $105,115,125$, nên $\bar x=115$ g. Phương sai $s^2=(5\cdot100+10\cdot0+5\cdot100)/20=50\,\mathrm{g}^2$, độ lệch chuẩn $5\sqrt2\approx7{,}07$ g. Vị trí tứ phân vị là $5$ và $15$, đúng các ranh giới tích lũy: nội suy cho $Q_1=110$, $Q_3=120$. Vậy $\Delta_Q=10$ g.

Toàn phần và Bayes

Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm: xác suất đến từ dây chuyền A là $0{,}7$, từ B là $0{,}3$. Tỉ lệ đạt chuẩn của A, B lần lượt $0{,}9$ và $0{,}8$. Tính xác suất sản phẩm đạt chuẩn; biết đã đạt chuẩn, tính xác suất sản phẩm đến từ B.

A$P(D)=0{,}9+0{,}8=1{,}7$.B$P(D)=0{,}87$ và $P(B\mid D)=0{,}3$.CGọi $D$ là đạt chuẩn. $P(D)=0{,}7\cdot0{,}9+0{,}3\cdot0{,}8=0{,}87$. Xác suất vừa từ B vừa đạt chuẩn là $0{,}24$. Vì vậy $P(B\mid D)=0{,}24/0{,}87=8/29\approx0{,}276$.D$P(B\mid D)=0{,}87/0{,}24$.

Đọc điều kiện từ bảng đếm

Một nhóm có 40 học sinh, trong đó 24 học sinh học tiếng Anh, 18 học sinh học tiếng Nhật, 10 học sinh học cả hai. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết học sinh đó học tiếng Nhật, tính xác suất học tiếng Anh. Tính thêm số học sinh không học ngôn ngữ nào trong hai ngôn ngữ này.

AXác suất bằng $10/40=1/4$ vì chọn trong cả nhóm.BSố học sinh học ít nhất một ngôn ngữ là $24+18=42$, nên không ai không học.CXác suất bằng $5/9$ nhưng số không học ngôn ngữ nào là $40-(24+18+10)=-12$.DTrong 18 học sinh học tiếng Nhật có 10 học sinh học cả hai, nên xác suất có điều kiện là $10/18=5/9$. Số học sinh học ít nhất một ngôn ngữ là $24+18-10=32$, nên có $40-32=8$ học sinh không học ngôn ngữ nào trong hai ngôn ngữ này.

Quy trình đối chiếu cuối bài

Với mỗi câu, kiểm điều kiện, công thức, phép tính và kết luận. Nếu một bước chưa rõ, quay lại đúng bài học để xem một ví dụ cùng dạng và đối chiếu vì sao công thức đó được áp dụng.