Ôn chủ đề: Xác suất có điều kiện

Đọc phần đã biết trong câu hỏi

Cụm “biết rằng” cho ta điều kiện của xác suất cần tính. Chẳng hạn, $P(A\mid B)$ là xác suất của $A$ khi đã biết $B$ xảy ra; mẫu số phải gắn với $B$. | Tình huống | Công thức | |---|---| | Biết $B$ đã xảy ra | $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$, với $P(B)>0$ | | Cần cả $A$ và $B$ | $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$ | | Chia theo $A$ và $\overline A$ | $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline A)P(B\mid\overline A)$ | | Biết $B$, hỏi khả năng đến từ $A$ | $P(A\mid B)=\dfrac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}$ | Các xác suất có điều kiện trong công thức cần mẫu số dương. Nếu $A,B$ độc lập, ta mới thay $P(B\mid A)$ bằng $P(B)$.

Cùng một bảng, hai điều kiện khác nhau

Một khảo sát minh họa ghi nhận 100 học sinh theo hai tiêu chí. | | Tham gia CLB | Không tham gia CLB | Tổng | |---|---|---|---| | Đi xe đạp | 18 | 12 | 30 | | Không đi xe đạp | 22 | 48 | 70 | | Tổng | 40 | 60 | 100 | Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Nếu biết học sinh đó tham gia CLB, xác suất đi xe đạp là $18/40=0{,}45$. Nếu biết học sinh đó đi xe đạp, xác suất tham gia CLB lại là $18/30=0{,}6$. Tử số đều là $18$, nhưng nhóm được xét ở mẫu số thay đổi. Vì thế hai chiều điều kiện thường cho hai kết quả khác nhau.

Chọn đúng tổng ở mẫu số

Dùng bảng trên: biết học sinh không tham gia CLB, tính xác suất học sinh đó đi xe đạp.

AXác suất bằng $12/100=0{,}12$.BXác suất bằng $60/12=5$.CTrong 60 học sinh không tham gia CLB, có 12 học sinh đi xe đạp. Xác suất cần tìm là $12/60=0{,}2$.DXác suất bằng $12/40=0{,}3$.

Tính toàn phần rồi suy ngược

Một kiện hàng được chọn từ kho A với xác suất $0{,}6$, từ kho B với xác suất $0{,}4$. Tỉ lệ kiện cần đóng gói lại trong hai kho lần lượt là $0{,}1$ và $0{,}2$; coi việc chọn trong từng kho là ngẫu nhiên. Gọi $D$ là biến cố kiện cần đóng gói lại. Có hai trường hợp rời nhau tạo ra $D$: chọn từ A rồi gặp $D$, hoặc chọn từ B rồi gặp $D$. Do đó $$P(D)=0{,}6\cdot0{,}1+0{,}4\cdot0{,}2=0{,}14.$$ Biết kiện được chọn cần đóng gói lại, xác suất nó đến từ B là $$P(B\mid D)=\frac{0{,}4\cdot0{,}2}{0{,}14}=\frac47.$$ Ta chia phần “đến từ B và cần đóng gói lại” cho toàn bộ khả năng “cần đóng gói lại”.

Lấy không hoàn lại

Hộp có 4 viên đỏ và 3 viên xanh. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp 2 viên, không hoàn lại. Tính xác suất cả hai đều đỏ.

A$4/7\cdot4/7=16/49$.B$4/7+3/6=15/14$.C$3/7\cdot2/6=1/7$.DLần đầu đỏ có xác suất $4/7$. Khi đã lấy một viên đỏ, còn 3 viên đỏ trong 6 viên, nên xác suất lần sau đỏ là $3/6$. Xác suất cần tìm bằng $\frac47\cdot\frac36=\frac27$.

Kiểm tra tính độc lập

Biết $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ và $P(A\cap B)=0{,}2$. Hai biến cố có độc lập không? Có xung khắc không?

AVì $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}2$, hai biến cố độc lập. Chúng không xung khắc vì giao có xác suất dương, nên giao không rỗng.BHai biến cố xung khắc vì $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.CKhông độc lập vì $0{,}2\ne0{,}4+0{,}5$.DVừa độc lập vừa xung khắc vì xác suất giao nhỏ hơn từng xác suất riêng.

Tính xác suất toàn phần

Chọn hộp I với xác suất $1/3$, hộp II với xác suất $2/3$, rồi chọn ngẫu nhiên một thẻ. Tỉ lệ thẻ vàng ở hộp I là $3/4$, ở hộp II là $1/4$. Tính xác suất lấy được thẻ vàng.

AXác suất vàng bằng $(3/4+1/4)/2=1/2$.BHai khả năng chọn hộp tạo thành các trường hợp rời nhau và bao hết. Xác suất thẻ vàng là $\frac13\cdot\frac34+\frac23\cdot\frac14=\frac14+\frac16=\frac5{12}$.CXác suất vàng bằng $(1/3+2/3)(3/4+1/4)=1$.DXác suất vàng bằng $1/3\cdot3/4=1/4$.

Suy ngược về hộp

Vẫn thí nghiệm ở câu trước. Biết đã lấy được thẻ vàng, tính xác suất đã chọn hộp I.

AXác suất vừa chọn I vừa được vàng là $\frac13\cdot\frac34=\frac14$. Chia cho xác suất được vàng $\frac5{12}$, ta được $P(I\mid\text{vàng})=\frac{1/4}{5/12}=\frac35$.B$P(I\mid\text{vàng})=1/4$.C$P(I\mid\text{vàng})=1/3$ vì biết màu không làm đổi xác suất chọn hộp.D$P(I\mid\text{vàng})=(5/12)/(1/4)=5/3$.

Vì sao không lấy trung bình hai tỉ lệ?

Một lời giải tính xác suất được thẻ vàng ở câu trên bằng $(3/4+1/4)/2=1/2$. Cách tính này thiếu thông tin nào?

ACách tính đó ngầm coi hai hộp được chọn với xác suất bằng nhau. Đề cho xác suất chọn hộp I và II lần lượt $1/3$ và $2/3$, nên phải dùng các trọng số này. Kết quả đúng là $5/12$.BCách tính đúng vì trung bình hai tỉ lệ vàng luôn cho xác suất chung.CThiếu tỉ lệ thẻ xanh trong mỗi hộp.DChỉ thiếu việc rút gọn $1/2$ thành $5/12$.

Một câu hỏi giúp tránh nhầm

Trước khi tính xác suất có điều kiện, cần xác định rõ những trường hợp đang được giữ lại. Tập trường hợp này quyết định mẫu số trong bảng hoặc các nhánh cần xét trong sơ đồ cây.