Từ hình vẽ sang tọa độ
Vectơ cho biết cả hướng và độ lớn. Khi có hình hộp hoặc tam giác, ta thường dùng quy tắc cộng; khi đã có tọa độ, ta tính theo từng thành phần.
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Vectơ từ $A$ đến $B$ | $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$ |
| Trung điểm $M$ của $AB$ | Tọa độ của $M$ bằng trung bình từng cặp tọa độ |
| Trọng tâm tam giác | Tọa độ bằng trung bình tọa độ ba đỉnh |
| Độ dài $\vec u=(a;b;c)$ | $\lVert\vec u\rVert=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ |
| Tích vô hướng | $\vec u\cdot\vec v=aa^{\prime}+bb^{\prime}+cc^{\prime}$ |
| Góc giữa hai vectơ khác $\vec0$ | $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert}$ |
Cần nhớ lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu. Góc giữa hai vectơ có thể là góc tù, nên tích vô hướng có thể âm.
Đi theo ba cạnh của hình hộp
Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. Từ $A$, ta đi lần lượt theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CC^{\prime}}$ để đến $C^{\prime}$. Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CC^{\prime}}=\overrightarrow{AA^{\prime}}$, ta được
$$\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}.$$
Nếu $A$ là gốc tọa độ, ba vectơ vế phải lần lượt bằng $(2;0;0)$, $(0;3;0)$, $(0;0;1)$ thì $C^{\prime}(2;3;1)$. Độ dài đường chéo bằng $\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}$.
Thay điểm cuối bằng trung điểm
Trong hình hộp trên, $M$ là trung điểm $CC^{\prime}$. Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AA^{\prime}}$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Vì $M$ là trung điểm của cạnh đứng, thành phần theo $AA'$ chỉ bằng một nửa.
Chỉ đoạn $CM$ bằng nửa cạnh đứng; đường từ $A$ đến $C$ dùng trọn hai vectơ đáy.
Trung điểm nằm trên $CC'$, không nằm trên cạnh theo hướng $AD$.
Lời giải
Ta đi từ $A$ đến $C$ rồi từ $C$ đến $M$. Vì $\overrightarrow{CM}=\frac12\overrightarrow{CC^{\prime}}$, nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AA^{\prime}}$.
Tính góc của hai vectơ
Cho $\vec u=(1;1;0)$ và $\vec v=(-1;0;1)$. Ta có $\vec u\cdot\vec v=-1$, còn mỗi vectơ có độ dài $\sqrt2$. Vì vậy $\cos\theta=-\frac12$, suy ra $\theta=120^\circ$.
Ở đây đề hỏi góc giữa hai vectơ, nên ta giữ dấu âm của tích vô hướng. Nếu đề hỏi góc giữa hai đường thẳng nhận chúng làm vectơ chỉ phương, góc cần lấy sẽ là $60^\circ$.
Vectơ và trung điểm
Cho $A(1;-2;3)$, $B(5;0;-1)$. Tính $\overrightarrow{AB}$, $AB$ và trung điểm $M$.
Vectơ $AB$ phải lấy $B-A$; phương án đã viết vectơ ngược $BA$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Tổng bình phương bằng $36$ nhưng độ dài là căn của số đó, bằng $6$.
Trung điểm dùng trung bình cộng tọa độ hai đầu, không dùng nửa hiệu.
Lời giải
Lấy điểm cuối trừ điểm đầu: $\overrightarrow{AB}=(4;2;-4)$. Do đó $AB=\sqrt{16+4+16}=6$. Trung điểm có tọa độ $M(3;-1;1)$.
Tìm đỉnh còn thiếu
Tam giác $ABC$ có $A(0;1;2)$, $B(3;0;1)$ và trọng tâm $G(2;1;1)$. Tìm $C$.
Công thức trọng tâm cho $C=3G-A-B$, còn thiếu hệ số $3$ trước $G$.
Cao độ là $3-2-1=0$, không phải $1$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Tổng $3G$ còn chứa tọa độ của cả $A$ và $B$; phải trừ hai điểm đã biết.
Lời giải
Từ $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$, suy ra $C=(6;3;3)-(0;1;2)-(3;0;1)=(3;2;0)$.
Điều kiện vuông góc
Tìm $m$ để $\vec u=(2;m;1)$ và $\vec v=(1;-1;3)$ vuông góc.
Tích thành phần thứ hai là $m\cdot(-1)=-m$, nên phương trình là $5-m=0$.
Cần dùng tổng tích cả ba cặp thành phần, không chỉ một thành phần.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Thay $m=5$ cho $2-5+3=0$; kết quả kiểm tra trong phương án sai.
Lời giải
Hai vectơ đều khác $\vec0$. Điều kiện vuông góc là $\vec u\cdot\vec v=2-m+3=0$, nên $m=5$.
Công của lực
Một lực không đổi $\vec F=(3;4;0)$ N tác dụng khi vật dời chỗ theo vectơ $\vec s=(2;0;1)$ m. Tính công của lực.
Công là tích vô hướng; không thể nhân hai độ dài nếu chưa nhân thêm cosin góc.
Thành phần $4$ của lực phải nhân với thành phần $0$ tương ứng của độ dời.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Tích vô hướng thực tế bằng $6$; các vectơ không vuông góc.
Lời giải
Công bằng tích vô hướng $W=\vec F\cdot\vec s=3\cdot2+4\cdot0+0\cdot1=6$ J. Thành phần lực vuông góc với độ dời không góp vào công.
Độ dời và quãng đường
Vật đi từ $A(0;0;0)$ đến $B(3;0;0)$ rồi đến $C(3;4;0)$ theo hai đoạn thẳng, đơn vị mét. Tính quãng đường và độ lớn vectơ độ dời.
Độ dời nối thẳng từ $A$ đến $C$, có độ dài $5$ m.
Hai đại lượng đã bị đổi: quãng đường cộng hai chặng, độ dời là cạnh huyền.
Ta có $AB=(3;0;0)$ và $BC=(0;4;0)$, nên tổng là $(3;4;0)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Quãng đường bằng $AB+BC=3+4=7$ m. Độ dời là $\overrightarrow{AC}=(3;4;0)$, có độ lớn $5$ m. Hai đại lượng khác nhau vì vật đổi hướng tại $B$.
Những điều cần nhớ
Trước khi tính, cần xác định rõ đang làm việc với điểm, vectơ hay độ dài. Sau đó chọn phép cộng tọa độ, trung bình tọa độ hoặc tích vô hướng đúng với yêu cầu.
Đang học