Ôn chủ đề: Ứng dụng đạo hàm

Hệ thống kiến thức cần nhớ

Trong chương này, một hàm số có thể được cho bằng công thức, bảng biến thiên hoặc đồ thị. Trước khi giải, cần xác định đề đang hỏi khoảng biến thiên, một giá trị hay hình dạng của đồ thị. | Cần tìm | Cách làm chính | |---|---| | Khoảng tăng, giảm | Tìm tập xác định, xét dấu đạo hàm trên từng khoảng | | Cực trị | Xét sự đổi dấu của đạo hàm tại điểm thuộc tập xác định | | Lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn | Với hàm liên tục, tính tại hai đầu đoạn và các điểm cần xét bên trong rồi so sánh | | Tiệm cận | Tính giới hạn tại điểm gián đoạn hoặc khi $x$ tiến ra vô cực | | Giá trị tối ưu trong thực tế | Đặt biến có điều kiện, lập hàm số rồi chọn kết quả hợp lệ | Nghiệm của $f^{\prime}(x)=0$ chỉ là điểm cần xét tiếp. Chẳng hạn, đạo hàm của $x^3$ bằng $0$ tại $0$ nhưng hàm số vẫn tăng qua điểm này.

Từ đạo hàm đến bảng biến thiên

Xét $f(x)=x^3-3x$ trên $\mathbb R$. Ta có $f^{\prime}(x)=3(x-1)(x+1)$.

Đồ thị y=x³−3x đi qua hai điểm cực trị (−1;2), (1;−2) và hai đầu đoạn (−2;−2), (2;2).

| Khoảng | $(-\infty;-1)$ | $(-1;1)$ | $(1;+\infty)$ | |---|---|---|---| | Dấu $f^{\prime}$ | $+$ | $-$ | $+$ | | Chiều biến thiên | Tăng | Giảm | Tăng | Tại $x=-1$, đạo hàm đổi từ dương sang âm nên hàm đạt cực đại, giá trị là $f(-1)=2$. Tại $x=1$, hàm đạt cực tiểu, giá trị là $-2$. Nếu chỉ xét đoạn $[-2;2]$, ta tính thêm $f(-2)=-2$, $f(2)=2$. Vậy giá trị lớn nhất là $2$, đạt tại $-1$ và $2$; giá trị nhỏ nhất là $-2$, đạt tại $-2$ và $1$. Một giá trị lớn nhất có thể đạt tại nhiều điểm.

Lập bảng dấu

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của $g(x)=x^3-6x^2+9x+2$.

A$g'$ dương giữa $1,3$, nên hàm đồng biến trên $(1;3)$ và có cực tiểu tại $1$, cực đại tại $3$.BHai cực trị có giá trị $0$ vì $g'(1)=g'(3)=0$.CHàm đồng biến trên $(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$ như một khoảng duy nhất.DTa có $g^{\prime}(x)=3(x-1)(x-3)$, dương ngoài hai nghiệm và âm giữa hai nghiệm. Hàm đồng biến trên $(-\infty;1)$, $(3;+\infty)$; nghịch biến trên $(1;3)$. Đạo hàm đổi $+\to-$ tại $1$, $-\to+$ tại $3$, nên cực đại bằng $g(1)=6$, cực tiểu bằng $g(3)=2$.

Tìm kích thước để diện tích lớn nhất

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $48$ m. Tìm diện tích lớn nhất. Gọi một cạnh là $x$ m. Cạnh kia bằng $24-x$ m, nên $0<x<24$. Diện tích là $S(x)=x(24-x)$, đơn vị $\mathrm{m}^2$. Ta có $S^{\prime}(x)=24-2x$: dương khi $x<12$, âm khi $x>12$. Vì vậy $S$ lớn nhất tại $x=12$, với $S(12)=144$. Hai cạnh đều bằng $12$ m. Kết quả này thuộc điều kiện đã đặt, nên mảnh vườn hình vuông cho diện tích lớn nhất $144\,\mathrm{m}^2$.

So sánh cả hai đầu đoạn

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $h(x)=x^3-3x$ trên $[0;3]$.

ATa có $h^{\prime}(x)=3(x^2-1)$, nghiệm trong đoạn là $x=1$. So sánh $h(0)=0$, $h(1)=-2$, $h(3)=18$: giá trị nhỏ nhất là $-2$ tại $1$; lớn nhất là $18$ tại $3$.BChỉ xét nghiệm $x=1$, nên GTNN là $-2$ và không có GTLN.CGTLN là $0$ tại $x=0$, GTNN là $-2$ tại $x=1$.DGTLN là $18$ tại $3$, GTNN là $0$ tại $0$.

Nhận ra hai tiệm cận

Tìm tiệm cận đứng, ngang của $y=\dfrac{2x+3}{x-1}$.

ATiệm cận đứng $x=-1$, ngang $y=2$.BTiệm cận đứng $x=1$, ngang $y=5$ vì phần dư bằng $5$.CTập xác định là $\mathbb R\setminus\{1\}$. Viết $y=2+\dfrac5{x-1}$. Khi $x\to1^+$, $y\to+\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to\pm\infty$, $y\to2$, nên $y=2$ là tiệm cận ngang.DChỉ có tiệm cận ngang $y=2$ vì hàm không xác định tại $1$.

Một điểm bị loại có luôn là tiệm cận?

Đồ thị $y=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ không? Giải thích.

ACó tiệm cận đứng $x=2$ vì mẫu bằng $0$ tại đó.BKhông. Với $x\ne2$, hàm bằng $x+2$, nên giới hạn tại $2$ bằng $4$, hữu hạn. Đồ thị là đường thẳng $y=x+2$ bỏ điểm $(2;4)$. Điểm bị loại khỏi tập xác định chưa đủ để kết luận có tiệm cận đứng.CKhông có tiệm cận đứng và đồ thị là toàn bộ đường $y=x+2$.DKhông có tiệm cận đứng vì giới hạn tại $2$ bằng $2$.

Tiệm cận xiên

Tìm tiệm cận xiên của $y=\dfrac{x^2+2x+4}{x+1}$.

ATiệm cận xiên $y=x+2$ vì đó là hai số hạng đầu của tử.BTiệm cận xiên $y=x+1+3/(x+1)$.CTiệm cận xiên $y=x-1$ vì mẫu là $x+1$.DChia đa thức được $y=x+1+\dfrac3{x+1}$. Hiệu $y-(x+1)$ tiến về $0$ khi $x\to\pm\infty$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.

Vận dụng với miền giá trị nguyên

Một mô hình cho lợi nhuận $P(x)=-x^2+18x-20$ (triệu đồng), với $x$ là số sản phẩm bán được và $x\in\{0,1,\ldots,15\}$. Theo mô hình, nên bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất?

AChọn $x=18$ vì giải $P'(x)=0$ được $18$.BXét hàm trên $[0;15]$, $P^{\prime}(x)=18-2x$ đổi từ dương sang âm tại $9$. Vì $9$ là số nguyên được phép, lợi nhuận lớn nhất đạt khi bán $9$ sản phẩm, bằng $P(9)=61$ triệu đồng. Nếu điểm tối ưu liên tục không nguyên, cần so sánh các số nguyên hợp lệ gần nó.CChọn $x=9$ và lợi nhuận lớn nhất là $9$ triệu đồng.DChọn $x=15$ vì lợi nhuận tăng trên toàn miền $0\le x\le15$.

Quy trình cần nhớ

Khi xét một hàm số, cần lập được bảng dấu của đạo hàm và nêu rõ vì sao chọn các giá trị để so sánh. Cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là những khái niệm khác nhau; phải đọc đúng yêu cầu trước khi kết luận.