Chọn đúng phép tính trước khi tính
Cùng một hàm số, đề có thể hỏi một họ hàm, một giá trị tích phân hoặc một đại lượng hình học. Ta đọc yêu cầu trước rồi mới chọn công thức.
| Đề hỏi | Điều cần nhớ |
|---|---|
| Họ nguyên hàm của $f$ trên một khoảng | $F(x)+C$, với $F^{\prime}=f$ |
| Nguyên hàm có điều kiện ban đầu | Tìm $C$ bằng giá trị đã cho |
| Tích phân từ $a$ đến $b$ | $F(b)-F(a)$, khi $f$ liên tục trên đoạn |
| Diện tích giữa hai đồ thị | $\int_a^b\lvert f(x)-g(x)\rvert\,dx$ |
| Thể tích từ diện tích thiết diện $S(x)$ | $\int_a^b S(x)\,dx$ |
| Quãng đường theo vận tốc có dấu $v$ | $\int_a^b\lvert v(t)\rvert\,dt$ |
Nếu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đổi dấu, ta chia khoảng tại những điểm đổi dấu. Với thể tích tròn xoay, bán kính phải được bình phương khi tính diện tích hình tròn.
Dùng điều kiện để tìm nguyên hàm
Tìm $F$ biết $F^{\prime}(x)=6x^2-4x+1$ và $F(1)=3$.
Lấy nguyên hàm từng số hạng, ta được $F(x)=2x^3-2x^2+x+C$. Thay $x=1$ vào điều kiện: $1+C=3$, nên $C=2$. Vậy $F(x)=2x^3-2x^2+x+2$.
Có hai điều để đối chiếu: đạo hàm của kết quả phải bằng $6x^2-4x+1$, và giá trị tại $1$ phải bằng $3$.
Tìm hằng số
Tìm $F$ trên $\mathbb R$ biết $F^{\prime}(x)=2x+3e^x$ và $F(0)=5$.
Thay $x=0$ cho giá trị $8$, không thỏa điều kiện $F(0)=5$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đạo hàm xuất hiện thêm hạng $2$, nên không còn bằng hàm đã cho.
Nguyên hàm của $2x$ là $x^2$, không phải $2x^2$.
Lời giải
Họ nguyên hàm là $x^2+3e^x+C$. Tại $0$, ta có $3+C=5$, nên $C=2$. Do đó $F(x)=x^2+3e^x+2$.
Diện tích khác tích phân có dấu
Tính diện tích giới hạn bởi $y=x^2-1$, trục hoành và hai đường $x=0$, $x=2$.
![Đồ thị y=x²−1 trên đoạn [0;2]; hai miền ở dưới và trên trục hoành được tô màu khác nhau.](/static/runtime/learning/grade12-area.0e6bc4e0a4ae.png)
Hàm âm trên $[0;1)$ và dương trên $(1;2]$. Vì diện tích mỗi phần phải không âm, ta viết
$$S=\int_0^1(1-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx=\frac23+\frac43=2.$$
Trong khi đó, $\int_0^2(x^2-1)\,dx=\frac23$. Phần nằm dưới trục hoành đã mang dấu âm trong tích phân có dấu, nên không thể lấy kết quả đó làm diện tích.
Tích phân cơ bản
Tính $\displaystyle\int_0^2(3x^2+2x)\,dx$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Thay cận trên $2$ cho $8+4=12$, không phải $6$.
Đã thế cận vào chính hàm thay vì một nguyên hàm.
Công thức đúng lấy giá trị ở cận trên trừ cận dưới.
Lời giải
Một nguyên hàm là $x^3+x^2$. Áp dụng Newton–Leibniz: $[x^3+x^2]_0^2=8+4=12$.
Diện tích giữa hai đường
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=2x$ và $y=x^2$.
Phải lấy đồ thị trên trừ đồ thị dưới để diện tích không âm.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Phương trình $x(2-x)=0$ còn nghiệm $x=0$.
Biên là đường cong; phải dùng tích phân, không lấy hình chữ nhật bao ngoài.
Lời giải
Giải $2x=x^2$ được $x=0,2$. Trên $[0;2]$, $2x\ge x^2$, nên diện tích là $\int_0^2(2x-x^2)\,dx=[x^2-x^3/3]_0^2=4/3$.
Thể tích khối tròn xoay
Quay miền giới hạn bởi $y=x$, trục hoành và $x=0$, $x=3$ quanh $Ox$. Tính thể tích.
Diện tích thiết diện tròn dùng $\pi x^2$, không phải $\pi x$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Còn thiếu hệ số $\pi$ trong diện tích hình tròn.
Khối tạo thành là nón, không phải trụ bán kính cố định.
Lời giải
Tại vị trí $x$, thiết diện vuông góc với $Ox$ là hình tròn bán kính $x$, diện tích $\pi x^2$. Vì vậy $V=\pi\int_0^3x^2\,dx=9\pi$ đơn vị thể tích.
Vật có đổi chiều
Vật có vận tốc $v(t)=2t-2$ m/s trên $0\le t\le3$. Tính độ dời và quãng đường.
Quãng đường phải đổi dấu phần vận tốc âm, nên bằng $5$ m.
Hai đại lượng đã bị đổi; quãng đường không thể nhỏ hơn độ lớn độ dời.
Phần trước $t=1$ dài $1$, phần sau dài $4$, tổng bằng $5$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Độ dời là $\int_0^3(2t-2)\,dt=[t^2-2t]_0^3=3$ m. Vận tốc đổi dấu tại $t=1$, nên quãng đường là $-\int_0^1(2t-2)\,dt+\int_1^3(2t-2)\,dt=1+4=5$ m.
Từ gia tốc đến vận tốc
Một vật có gia tốc $a(t)=2t$ m/s² và $v(0)=3$ m/s. Tìm vận tốc tại $t=2$ s và quãng đường trong hai giây đầu.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Nguyên hàm của $2t$ là $t^2$, không phải $2t^2$.
Hiệu vận tốc không phải quãng đường; phải tích phân vận tốc.
Phải cộng vận tốc ban đầu: $v(2)=4+3=7$ m/s.
Lời giải
Vì $v^{\prime}=a$, ta có $v(t)=t^2+C$. Điều kiện đầu cho $C=3$, nên $v(2)=7$ m/s. Vận tốc dương trên $[0;2]$, do đó quãng đường bằng $\int_0^2(t^2+3)\,dt=8/3+6=26/3$ m.
Một lượt đối chiếu ngắn
Kiểm hằng số ở bài nguyên hàm, thứ tự cận ở bài tích phân và dấu ở bài diện tích hoặc quãng đường. Với đại lượng thực tế, ghi cả đơn vị của kết quả.
Đang học