Ôn chủ đề: Độ phân tán của số liệu ghép nhóm

Mỗi số đo cho biết điều gì?

Hai mẫu có cùng số trung bình vẫn có thể phân tán rất khác nhau. Ta cần xem các giá trị trải rộng đến mức nào. | Số đo | Cách tính hoặc ý nghĩa | |---|---| | Khoảng biến thiên $R$ | Đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu có dữ liệu | | Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ | $Q_3-Q_1$, mô tả độ trải của phần dữ liệu ở giữa | | Phương sai $s^2$ | $\dfrac{\sum f_i(x_i-\bar x)^2}{n}$ | | Độ lệch chuẩn $s$ | Căn bậc hai của phương sai; cùng đơn vị với dữ liệu | Ở đây $f_i$ là tần số, $x_i$ là trung điểm nhóm, $n=\sum f_i$. Các kết quả tính từ bảng ghép nhóm là những số đo của mẫu ghép nhóm; chúng chỉ ước lượng các số đo tương ứng của dữ liệu gốc.

Tính khoảng biến thiên và tứ phân vị

Thời gian hoàn thành một nhiệm vụ của 20 lượt làm được ghép nhóm như sau. | Thời gian (phút) | $[10;20)$ | $[20;30)$ | $[30;40)$ | $[40;50)$ | |---|---|---|---|---| | Tần số | 2 | 6 | 8 | 4 | | Tần số tích lũy | 2 | 8 | 16 | 20 | Khoảng biến thiên là $R=50-10=40$ phút. Vị trí $n/4=5$ nằm trong nhóm $[20;30)$, nên $$Q_1=20+\frac{5-2}{6}\cdot10=25.$$ Vị trí $3n/4=15$ nằm trong nhóm $[30;40)$, nên $Q_3=30+\frac{15-8}{8}\cdot10=38{,}75$. Vậy $\Delta_Q=13{,}75$ phút. Trong công thức, ta trừ số lượt đã nằm trước nhóm, rồi chia cho tần số của chính nhóm chứa tứ phân vị.

Đọc một bảng khác

Với các nhóm $[0;2)$, $[2;4)$, $[4;6)$, $[6;8)$ có tần số lần lượt $4,8,6,2$, hãy tìm $R,Q_1,Q_3,\Delta_Q$.

A$R=6$, $Q_1=2$, $Q_3=4$, $\Delta_Q=2$.BCó $n=20$, tần số tích lũy $4,12,18,20$. $R=8$. Vị trí $5$ ở nhóm thứ hai: $Q_1=2+\frac{5-4}{8}\cdot2=2{,}25$. Vị trí $15$ ở nhóm thứ ba: $Q_3=4+\frac{15-12}{6}\cdot2=5$. Vậy $\Delta_Q=2{,}75$.C$R=8$, $Q_1=2{,}25$, $Q_3=5$, nhưng $\Delta_Q=7{,}25$.D$Q_1$ thuộc nhóm đầu và $Q_3$ thuộc nhóm cuối vì lấy nhóm thứ nhất, thứ ba theo tên tứ phân vị.

Tính độ lệch chuẩn từ điểm đại diện

Dùng lại bảng thời gian ở ví dụ đầu. Các điểm đại diện là $15,25,35,45$ phút. Ta tính $\sum f_ix_i=640$, nên $\bar x=32$ phút. Để bớt phép tính, dùng $s^2=\dfrac{\sum f_ix_i^2}{n}-\bar x^2$. Tổng bình phương có trọng số là $$2\cdot15^2+6\cdot25^2+8\cdot35^2+4\cdot45^2=22100.$$ Suy ra $s^2=22100/20-32^2=81\,\mathrm{phút}^2$, nên $s=9$ phút. Có thể kiểm lại bằng cách cộng $f_i(x_i-32)^2$ rồi chia cho $20$; hai cách phải cho cùng kết quả.

Hai cách tính phải trùng nhau

Các nhóm $[0;2)$, $[2;4)$, $[4;6)$ có tần số $2,4,2$. Tính số trung bình và phương sai.

ATrung bình là $(1+3+5)/3=3$, phương sai chia cho $3$.B$\bar x=3$, $s^2=4$ vì hai điểm ngoài cách trung bình $2$.C$\bar x=3$, $s=2$ nên phương sai bằng $2$.DCác điểm đại diện là $1,3,5$. $\bar x=(2+12+10)/8=3$. Phương sai $s^2=[2(1-3)^2+4(3-3)^2+2(5-3)^2]/8=2$. Cũng có thể tính $s^2=(2+36+50)/8-9=2$.

So sánh độ ổn định

Hai mẫu thời gian được đo cùng cách, có cùng số trung bình $15$ phút. Độ lệch chuẩn lần lượt là $s_A=1{,}2$ phút và $s_B=2{,}1$ phút. Mẫu nào ít phân tán hơn? Có thể nói mọi lần làm của A đều nhanh hơn B không?

AB ít phân tán hơn vì $2{,}1>1{,}2$.BMẫu A ít phân tán hơn vì $s_A<s_B$: thời gian trong mẫu tập trung hơn quanh số trung bình. Không thể kết luận mọi lần của A đều nhanh hơn B; độ lệch chuẩn không cho biết từng cặp quan sát, và hai mẫu có cùng số trung bình.CA ít phân tán hơn, nên mọi lần làm của A đều nhanh hơn B.DHai mẫu phân tán như nhau vì có cùng số trung bình.

Đổi đơn vị

Một mẫu thời gian có độ lệch chuẩn $2$ phút. Khi đổi toàn bộ dữ liệu sang giây, độ lệch chuẩn và phương sai bằng bao nhiêu?

AĐộ lệch chuẩn $120$ giây, phương sai $240$ giây².BĐộ lệch chuẩn $2$ giây, phương sai $4$ giây².CĐộ lệch chuẩn $120$ giây và phương sai $7200$ giây².DMọi độ lệch được nhân $60$, nên độ lệch chuẩn là $120$ giây. Phương sai là $120^2=14400\,\mathrm{giây}^2$. Phương sai được nhân $60^2$, không phải chỉ $60$.

Vì sao không dùng hai trung điểm ngoài cùng?

Các nhóm đầu và cuối có dữ liệu là $[10;20)$ và $[40;50)$. Một lời giải tính khoảng biến thiên bằng $45-15=30$. Cách tính này sai ở đâu?

ACách tính $45-15=30$ đúng vì phải dùng điểm đại diện hai nhóm ngoài.BKhoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm dùng hai đầu mút ngoài cùng: $50-10=40$. Các số $15,45$ là điểm đại diện, dùng khi tính số trung bình và phương sai, không thay thế hai đầu mút trong công thức $R$.CKhoảng biến thiên là $40-20=20$.DKhoảng biến thiên là $50-15=35$ vì chỉ nhóm đầu cần dùng điểm đại diện.

Khi mọi tần số đều tăng gấp đôi

Giữ nguyên các khoảng ghép nhóm nhưng nhân mọi tần số với $2$. Số trung bình và phương sai của mẫu ghép nhóm có đổi không?

AKhông đổi. Trong $\bar x=\sum f_ix_i/n$, cả tử và mẫu đều gấp đôi. Với phương sai, $\bar x$ giữ nguyên và cả $\sum f_i(x_i-\bar x)^2$ lẫn $n$ đều gấp đôi, nên thương cũng giữ nguyên.BSố trung bình và phương sai đều tăng gấp đôi vì mọi tần số tăng gấp đôi.CSố trung bình không đổi nhưng phương sai tăng gấp đôi.DSố trung bình tăng gấp đôi còn phương sai không đổi.

Trình bày kết quả thế nào?

Kết quả cần có số đo, đơn vị và một câu diễn giải. Với dữ liệu ghép nhóm, tránh khẳng định đã biết chính xác giá trị nhỏ nhất, lớn nhất hoặc từng quan sát của mẫu gốc.