Điều kiện ban đầu chọn một hàm trong cả họ
Biết đạo hàm chưa xác định được duy nhất hàm gốc. Một giá trị như F(0)=3 cho biết đồ thị phải đi qua điểm (0;3), từ đó chọn được hằng số C.
Hai bước cần tách rõ
Đầu tiên tìm họ F(x)=H(x)+C từ đạo hàm. Sau đó thay điều kiện F(a)=b vào **F**, được C=b−H(a). Cuối cùng kiểm cả F′ và F(a); không thay điều kiện của F vào F′.
Ví dụ 1 — Điều kiện tại 0
Cho F′(x)=2x và F(0)=3. Tìm F.
Một nguyên hàm của 2x là x², nên F(x)=x²+C. Thay x=0: 0+C=3, suy ra C=3. Vậy F(x)=x²+3.
Kiểm lại F′=2x và F(0)=3. Hai yêu cầu đều đúng; x² đơn thuần chỉ thỏa yêu cầu đạo hàm.
Thử: điều kiện tại điểm khác 0
F′(x)=2x và F(1)=5. F(x) là gì?
Đúng: F(1)=1+4=5.
F(1)=6, không phải 5.
Đạo hàm là 2, không phải 2x.
F(1)=−3, không thỏa điều kiện.
Lời giải
C=4 nên F=x²+4. Chọn A; C không luôn bằng giá trị đã cho.
Ví dụ 2 — Vị trí từ vận tốc
Một vật chuyển động thẳng có vận tốc v(t)=2t+1 m/s, t≥0; vị trí ban đầu s(0)=4 m. Tìm s(t) và vị trí lúc t=3 giây.
Vì s′=v, ta được s(t)=t²+t+C. Điều kiện ban đầu cho C=4, nên s(t)=t²+t+4. Khi t=3, s(3)=9+3+4=16 m.
Đây là vị trí so với gốc tọa độ. Vật đi theo chiều dương, nên quãng đường trong ba giây là s(3)−s(0)=12 m; không lấy vị trí 16 m làm quãng đường.
Thử: một hằng số cần trừ đi
F′(x)=eˣ và F(0)=0. Tìm F.
Thực tế $e^0=1$, nên phải thêm hằng số $-1$ để giá trị tại $0$ bằng $0$.
Thay $x=0$ được $2$, không thỏa điều kiện đầu.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đạo hàm của $xe^x$ là $(x+1)e^x$, không phải $e^x$.
Lời giải
F=eˣ+C; F(0)=1+C=0 nên C=−1. Vậy F=eˣ−1.
Bài luyện 1
F′(x)=3x², F(2)=1. Tìm F.
Điều kiện $8+C=1$ cho $C=-7$, không phải $7$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Nguyên hàm của $3x^2$ là $x^3$, không phải $3x^3$.
Thay $2$ cho $8-7=1$; phần kiểm tra của phương án sai.
Lời giải
F=x³+C; 8+C=1 nên C=−7. F=x³−7.
Bài luyện 2
F′(x)=cos x và F(0)=2. Tìm F.
Đạo hàm của $-\sin x$ là $-\cos x$, sai dấu.
Điều kiện yêu cầu giá trị $2$, nên cần thêm hằng số $2$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đạo hàm của cos là $-\sin x$, không phải cos.
Lời giải
F=sin x+C, thay 0 được C=2. Vậy F=sin x+2.
Bài luyện 3
Biết F′(x)=2x trên R, có thể đồng thời có F(0)=1 và F(1)=5 không?
Một nguyên hàm trên cùng khoảng chỉ có một hằng số $C$; hai điều kiện phải tương thích.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đạo hàm biểu thức này là $2x+1$, không thỏa $F'=2x$.
Kết luận không tương thích đúng nhưng hằng số phải là $+1$; cần kiểm $F(1)=2$.
Lời giải
Không. Điều kiện đầu cho F=x²+1, khi đó F(1)=2. Hai điều kiện đề xuất không tương thích với đạo hàm đã cho.
Những điều cần nhớ
Tìm họ trước, dùng điều kiện sau. Cần giữ ý nghĩa của hàm: vị trí, lượng nước hoặc doanh thu ban đầu không nhất thiết bằng 0.
Đang học