Vận tốc, gia tốc và đồ thị dao động

Ta có thể hình dung một điểm quay đều trên đường tròn bán kính A với tốc độ góc ω. Hình chiếu của điểm lên trục ngang có li độ x = A cosθ, trong đó θ = ωt + φ. Vectơ vận tốc của điểm quay nằm trên tiếp tuyến, độ lớn ωA. Hình chiếu ngang là −ωA sinθ. Gia tốc của điểm quay hướng về tâm, độ lớn ω²A, nên hình chiếu ngang là −ω²A cosθ = −ω²x. Hai hình chiếu ấy cho quan hệ vận tốc và gia tốc của dao động. Ta dùng kết quả hình học này để hiểu dấu, không cần lấy đạo hàm. Hình minh họa một thời điểm θ = 60°: điểm chiếu ở bên phải O, vận tốc chiếu và gia tốc chiếu đều hướng trái. Khi ấy vật tiến về cân bằng và nhanh dần.

Từ phương trình điều hòa: $$v=-\omega A\sin(\omega t+\varphi),\qquad a=-\omega^2x.$$ $$v^2=\omega^2(A^2-x^2).$$ $v_{max}=\omega A$, $|a|_{max}=\omega^2A$. Ở biên, v = 0 nhưng gia tốc khác 0; ở cân bằng, a = 0 nhưng tốc độ lớn nhất. Gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng. Dấu v cho chiều chuyển động theo trục đã chọn; dấu a một mình không cho biết nhanh dần hay chậm dần. Độ dốc của x–t cho vận tốc: đường đang đi lên thì v > 0, đi xuống thì v < 0. Tại cực trị x, độ dốc bằng 0. Gia tốc ngược pha x; vận tốc sớm pha π/2 so với x theo dạng cos tương ứng.

Xét x = A cosωt, bắt đầu ở biên dương: | Thời điểm | Li độ | Vận tốc | Gia tốc | |---|---|---|---| | 0 | +A | 0 | −ω²A | | T/4 | 0 | −ωA | 0 | | T/2 | −A | 0 | +ω²A | | 3T/4 | 0 | +ωA | 0 | | T | +A | 0 | −ω²A | Giữa các mốc, v và a cùng dấu thì vật nhanh dần, trái dấu thì chậm dần. Vật về cân bằng nhanh dần; ra xa cân bằng chậm dần. Ngay tại biên v = 0 nhưng a khác 0; ngay tại cân bằng a = 0 nhưng v khác 0. Bình phương x/A = cosθ và v/(ωA) = −sinθ rồi cộng, dùng sin²θ + cos²θ = 1, ta được x²/A² + v²/(ω²A²) = 1. Hệ thức này cho độ lớn vận tốc; chiều chuyển động mới quyết định dấu.

Theo định luật II Newton, hợp lực theo trục dao động là F = ma = −mω²x. Dấu trừ cho thấy hợp lực hướng về cân bằng. Với lò xo treo thẳng đứng, trọng lực và lực đàn hồi cùng tham gia tạo hợp lực; tại cân bằng chúng triệt tiêu nhau dù lực đàn hồi không bằng 0. Vì vậy, khi đề hỏi lực đàn hồi của lò xo thẳng đứng, phải xét độ dãn so với chiều dài tự nhiên. Khi đề hỏi hợp lực hồi phục, xét li độ so với vị trí cân bằng. Không dùng cùng một độ dài cho hai mốc khác nhau.