Định nghĩa khoảng cách
Từ một điểm đến một đường hoặc một mặt, có nhiều đoạn nối. Khoảng cách là độ dài đoạn vuông góc. Phần cần tìm trước thường là chân vuông góc; sau đó phép tính trở về hình học phẳng.
Hai định nghĩa cần nhớ
Nếu $H$ là hình chiếu của $M$ lên đường $d$, thì $d(M,d)=MH$. Nếu $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt $(P)$, thì $d(M,(P))=MH$.
Điểm thuộc đường hoặc mặt có khoảng cách bằng $0$. Với điểm nằm ngoài, cần có $H$ thuộc đối tượng đích và $MH$ vuông góc với đối tượng ấy. Một đoạn vuông góc với một đường trong mặt chưa đủ để là khoảng cách đến mặt.
Tính đường cao bằng diện tích tam giác
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$, $SA=6$, $AB=8$. Tính khoảng cách từ $A$ đến đường $SB$.
Trong tam giác $SAB$, hạ $AH\perp SB$ tại $H$. Khi đó khoảng cách cần tìm là $AH$.
Theo Pythagore, $SB=\sqrt{6^2+8^2}=10$. Tính diện tích tam giác theo hai cách:
$$\frac12 SA\cdot AB=\frac12 SB\cdot AH.$$
Do đó $AH=SA\cdot AB/SB=48/10=4{,}8$. Công thức này xuất phát từ diện tích, nên ta biết rõ các cạnh nào đóng vai trò đáy và cao.
Tính một khoảng cách tương tự
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=5$, $AC=12$. Tính $d(A,BC)$.
Khoảng cách là đường cao từ $A$ đến $BC$, không phải độ dài cạnh $BC$.
Đoạn $AB$ không vuông góc với $BC$; chân khoảng cách phải nằm trên $BC$.
Khi đổi đáy sang $BC=13$, còn phải chia hai lần diện tích cho 13.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Kẻ $AH\perp BC$. Có $BC=13$. Từ $\tfrac12 AB\cdot AC=\tfrac12 BC\cdot AH$, suy ra $AH=60/13$. Đây là khoảng cách từ $A$ đến đường $BC$.
Dựng chân đến mặt bên trong một mặt phụ
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình chữ nhật, $SA\perp(ABCD)$, $SA=3$, $AB=4$. Tính $d(A,(SBC))$.
Ta xét mặt $(SAB)$ vì nó chứa $A$ và cắt mặt đích theo $SB$. Trong tam giác $SAB$, kẻ $AH\perp SB$ tại $H$.
Cần kiểm $AH$ còn vuông góc với một đường khác trong $(SBC)$. Do $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$, có $BC\perp(SAB)$, suy ra $BC\perp AH$. Hai đường $SB,BC$ cắt nhau và nằm trong $(SBC)$; $AH$ vuông góc cả hai, nên $AH\perp(SBC)$.
Vậy $d(A,(SBC))=AH$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$, $SB=5$, nên theo diện tích:
$$AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{12}{5}.$$
Việc dựng $AH\perp SB$ mới chỉ là bước đầu. Chính lập luận qua $BC$ bảo đảm đây là chân vuông góc xuống cả mặt $(SBC)$.
Chọn mặt phụ phía bên kia
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy hình chữ nhật, $SA\perp(ABCD)$, $SA=6$, $AD=8$. Tính $d(A,(SCD))$.
Điểm $D$ thuộc mặt nhưng $AD$ không vuông góc với mặt đó.
Mặt cần tính là $(SCD)$, không phải mặt đáy.
Đoạn $SD$ nằm trong mặt $(SCD)$ và không xuất phát từ A; đường vuông góc là $AK$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Trong $(SAD)$, kẻ $AK\perp SD$ tại $K$. Vì $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$, suy ra $CD\perp(SAD)$ nên $CD\perp AK$. Hai đường $SD,CD$ cắt nhau trong $(SCD)$, nên $AK\perp(SCD)$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$, $SD=10$; do đó $d(A,(SCD))=AK=SA\cdot AD/SD=4{,}8$.
Các bước xác định khoảng cách
Chọn mặt phẳng thuận tiện để dựng chân; chứng minh đoạn dựng được vuông góc với đường hoặc mặt đích; cuối cùng tính độ dài. Với khoảng cách điểm–mặt, đừng dừng chứng minh ở một quan hệ vuông góc với đường.
Đang học