Dùng lại khoảng cách từ điểm đến mặt
Khi đường thẳng song song với mặt phẳng, mọi điểm trên đường đều cách mặt một khoảng bằng nhau. Ta có thể chọn điểm giúp dựng chân dễ nhất. Với hai đường chéo nhau, ta tìm đoạn vuông góc chung hoặc đưa về khoảng cách đường–mặt phù hợp.
Các đối tượng song song
| Trường hợp | Cách tính |
|---|---|
| $d\parallel(P)$ | Chọn $M\in d$, tính $d(M,(P))$ |
| $(P)\parallel(Q)$ | Chọn $M\in(P)$, tính $d(M,(Q))$ |
Phải kiểm tra song song trước. Nếu đường cắt mặt thì khoảng cách nhỏ nhất giữa chúng bằng $0$, không bằng khoảng cách của một điểm tùy ý trên đường đến mặt.
Chọn một đỉnh có sẵn chân chiếu
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AA'=7$. Tính khoảng cách từ $A'C'$ đến $(ABCD)$ và khoảng cách giữa hai mặt đáy.
Hai mặt đáy $(A'B'C'D')$ và $(ABCD)$ song song; $A'C'$ nằm trong mặt trên nên song song với mặt dưới. Chọn điểm $A'$ vì có ngay $A'A\perp(ABCD)$.
Vậy $d(A'C',(ABCD))=A'A=7$. Cũng từ đoạn vuông góc ấy, khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng $7$. Không cần tìm điểm ở giữa đường chéo $A'C'$.
Tính khoảng cách của một mặt cắt
Cho hình chóp $S.ABC$, $SA\perp(ABC)$, $SA=10$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $SA,SB,SC$. Tính khoảng cách giữa $(MNP)$ và $(ABC)$.
Mặt $(MNP)$ đi qua trung điểm $M$ của $SA$, nên chỉ cách đáy một nửa chiều cao.
Đoạn $MN$ nằm trong mặt trên và song song đáy, không vuông góc hai mặt.
Hai mặt song song phân biệt có khoảng cách dương; ở đây bằng $MA=5$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Từ các đường trung bình $MN\parallel AB$, $MP\parallel AC$, suy ra $(MNP)\parallel(ABC)$. Điểm $M$ thuộc mặt trên và $MA\perp(ABC)$, nên khoảng cách bằng $MA=5$.
Hai đường chéo nhau và đoạn vuông góc chung
Với hai đường chéo nhau $a,b$, nếu $M\in a$, $N\in b$ và $MN\perp a$, $MN\perp b$, thì $MN$ là đoạn vuông góc chung. Khoảng cách giữa hai đường bằng độ dài $MN$.
Hai đầu mút phải lần lượt nằm trên hai đường. Chỉ tìm một đường vuông góc với cả hai về phương là chưa đủ để có đoạn cần tính.
Một đầu mút của đoạn chung có sẵn
Cho hình chóp $S.ABC$, $SA\perp(ABC)$; tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3$, $AC=4$. Tính khoảng cách giữa $SA$ và $BC$.
Hai đường chéo nhau: $SA$ chỉ cắt đáy tại $A$ và $A\notin BC$; nếu đồng phẳng với $BC$ thì mặt ấy phải chứa cả $A,B,C,S$, trái với $S$ ngoài đáy.
Trong đáy, hạ $AH\perp BC$. Vì $SA\perp(ABC)$ và $AH$ nằm trong đáy, $AH\perp SA$. Mặt khác $A\in SA$, $H\in BC$, nên $AH$ là đoạn vuông góc chung.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $BC=5$. Từ diện tích, $AH=AB\cdot AC/BC=12/5$. Vậy $d(SA,BC)=12/5$.
Chỉ ra đoạn chung trong hình hộp
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime$, $BC=6$. Tính khoảng cách giữa $AB$ và $CC\prime$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Điểm B không thuộc $CC'$; đoạn chung phải nối một điểm trên mỗi đường và vuông góc cả hai.
Đoạn $CC'$ nằm trên một trong hai đường nên không nối sang $AB$.
Đường chéo đáy không vuông góc với $AB$ nói chung; đoạn $BC$ mới vuông góc cả hai đường.
Lời giải
Có $B\in AB$, $C\in CC\prime$. Trong đáy hình chữ nhật, $BC\perp AB$; cạnh đứng $CC\prime$ vuông góc đáy nên $BC\perp CC\prime$. Vì thế $BC$ là đoạn vuông góc chung và khoảng cách bằng $6$.
Khi chưa thấy ngay đoạn vuông góc chung
Có thể dựng một mặt $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$. Khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$: chọn điểm thuận tiện trên $a$ rồi hạ vuông góc xuống $(P)$.
Đoạn từ điểm đã chọn xuống $(P)$ có đúng độ dài khoảng cách, nhưng chân của nó chưa chắc thuộc $b$. Vì vậy không tự gọi đoạn ấy là “đoạn vuông góc chung” nếu chưa kiểm tra hai đầu mút. Ở các bài đầu, ưu tiên nhận ra đoạn chung như hai ví dụ vừa làm.
Chọn cách tính theo vị trí
Với đối tượng song song, chọn một điểm dễ hạ vuông góc. Với hai đường chéo nhau, kiểm đủ hai đầu mút và hai quan hệ vuông góc nếu dùng đoạn chung. Cách tính độ dài cuối cùng thường vẫn nằm trong một tam giác vuông.
Đang học