Xác định chiều cao trong công thức thể tích
Một cạnh bên chỉ là chiều cao khi vuông góc với đáy. Nếu đề cho cạnh xiên, ta cần tìm đoạn vuông góc trước. Khi đã xác định đúng đáy và cao, công thức thể tích khá ngắn.
Công thức và ý nghĩa các đại lượng
Gọi $B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao vuông góc với mặt đáy.
| Khối | Thể tích | Chiều cao |
|---|---|---|
| Chóp | $V=\frac13 Bh$ | Khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy |
| Lăng trụ | $V=Bh$ | Khoảng cách giữa hai mặt đáy |
| Hộp chữ nhật có ba kích thước $a,b,c$ | $V=abc$ | Một kích thước vuông góc với mặt đáy đã chọn |
Lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc đáy nên cạnh bên bằng chiều cao. Với lăng trụ xiên, điều đó không đúng. Nếu độ dài tính bằng cm thì diện tích dùng cm², thể tích dùng cm³.
Tìm chiều cao từ cạnh bên của chóp đều
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, cạnh đáy bằng $4$ cm, cạnh bên $SA=\sqrt{17}$ cm. Tính thể tích.
Chóp tứ giác đều có đáy hình vuông, chân đường cao là tâm $O$ của đáy. Vì thế $SO\perp(ABCD)$ và tam giác $SOA$ vuông tại $O$.
Đường chéo đáy $AC=4\sqrt2$, nên $OA=AC/2=2\sqrt2$. Theo Pythagore:
$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{17-8}=3\text{ cm}.$$
Diện tích đáy $B=4^2=16$ cm². Vậy $V=\frac13\cdot16\cdot3=16$ cm³.
Ở đây $SA$ là cạnh xiên; chiều cao dùng trong công thức là $SO$.
Tìm chiều cao rồi tính thể tích
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $6$ cm, cạnh bên $5$ cm. Tính thể tích.
Cạnh bên nghiêng; phải dùng tam giác vuông $SOA$ để tìm chiều cao $SO=\sqrt7$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Khoảng cách từ tâm vuông đến đỉnh đáy là nửa đường chéo $3\sqrt2$, không phải 3.
Thể tích hình chóp còn hệ số $1/3$.
Lời giải
Gọi $O$ là tâm đáy. Có $OA=3\sqrt2$ cm, $SO=\sqrt{5^2-(3\sqrt2)^2}=\sqrt7$ cm. Diện tích đáy $36$ cm², nên $V=\frac13\cdot36\sqrt7=12\sqrt7$ cm³.
Lăng trụ xiên: tìm cao bằng góc đường–mặt
Một lăng trụ có diện tích đáy $12$ cm². Cạnh bên $AA'=10$ cm tạo với mặt đáy góc $30^\circ$. Tính thể tích.
Hạ $A'H\perp$ mặt đáy chứa $A$. Đoạn $AH$ là hình chiếu của $AA'$ lên đáy; góc $A'AH=30^\circ$.
Tam giác $AA'H$ vuông tại $H$ cho chiều cao $h=A'H=AA'\sin30^\circ=5$ cm. Hai mặt đáy lăng trụ song song, nên đoạn này đúng bằng khoảng cách giữa chúng.
Vậy $V=Bh=12\cdot5=60$ cm³. Nếu nhân diện tích đáy với cạnh bên $10$ cm, ta đã dùng độ dài xiên thay cho chiều cao.
Lập phép tính thể tích lăng trụ
Lăng trụ có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông $6$ cm, $8$ cm. Cạnh bên dài $10$ cm tạo với đáy góc $60^\circ$. Tính thể tích.
Cạnh bên không vuông góc đáy; chiều cao chỉ là thành phần $10\sin60^\circ$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Góc giữa cạnh và đáy cho thành phần vuông góc bằng cạnh nhân sin, không phải cos.
Hệ số $1/3$ dành cho hình chóp; lăng trụ có thể tích $Bh$.
Lời giải
Diện tích đáy $B=\frac12\cdot6\cdot8=24$ cm². Chiều cao vuông góc $h=10\sin60^\circ=5\sqrt3$ cm. Vì là lăng trụ, $V=Bh=120\sqrt3$ cm³.
Chọn đáy trong tứ diện
Tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc, độ dài lần lượt $2,3,4$. Tính thể tích.
Chọn tam giác $OAB$ làm đáy. Vì $OC$ vuông góc với hai đường cắt nhau $OA,OB$, có $OC\perp(OAB)$ nên chiều cao từ $C$ là $OC=4$.
Đáy vuông tại $O$, diện tích $B=\frac12\cdot2\cdot3=3$. Do đó $V=\frac13\cdot3\cdot4=4$.
Ta có thể chọn mặt khác làm đáy, nhưng chiều cao phải được xác định lại theo đúng mặt đã chọn.
Viết rõ đáy và cao trước công thức
Ghi diện tích mặt đáy, chỉ ra đoạn vuông góc làm chiều cao, rồi dùng công thức của đúng loại khối. Phân biệt nửa cạnh với nửa đường chéo khi tính chiều cao chóp đều; phân biệt cạnh bên với chiều cao ở lăng trụ xiên.
Đang học