Hợp, giao, xung khắc và cộng xác suất

“Hoặc” và “cả hai”

Hợp A∪B xảy ra khi **ít nhất một** trong A,B xảy ra, bao gồm cả trường hợp hai biến cố cùng xảy ra. Giao A∩B, cũng viết AB, xảy ra khi **cả hai** cùng xảy ra. Hai biến cố xung khắc khi không thể cùng xảy ra, tức A∩B=∅. Chẳng hạn một lần gieo xúc xắc không thể vừa ra 1 vừa ra 6. “Đúng một trong hai” chỉ lấy phần riêng của A và phần riêng của B, không lấy phần giao.

Liệt kê để phân biệt hợp và giao

Chọn đều một số từ 1 đến 10. Gọi A là “số chẵn”, B là “số chia hết cho 3”. A={2,4,6,8,10}, B={3,6,9}. Giao là {6}; hợp là {2,3,4,6,8,9,10}. Vậy P(A∩B)=1/10 và P(A∪B)=7/10. Hai biến cố không xung khắc vì cùng xảy ra khi chọn số 6.

Hiểu từ “hoặc”

A∪B xảy ra khi

AChỉ A xảy raBChỉ B xảy raCCả A và B không xảy raDÍt nhất một trong A,B xảy ra

Vì sao phải trừ phần giao?

Cộng P(A)+P(B) đã tính phần giao hai lần. Trừ một lần để mỗi phần chỉ được tính một lần: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$ Nếu A,B xung khắc thì phần giao bằng 0, công thức còn P(A∪B)=P(A)+P(B). Công thức tổng quát không đòi hỏi độc lập. Có thể lập bảng bốn phần: chỉ A, cả hai, chỉ B, không có A lẫn B. Các phần này không trùng nhau và tổng xác suất bằng 1.

Từ hai tỉ lệ và phần chung

Trong một câu lạc bộ, 60% thành viên chơi cầu lông, 40% chơi bóng bàn, 25% chơi cả hai. Chọn đều một thành viên. | Phần | Xác suất | |---|---| | Chỉ cầu lông | 0,60−0,25=0,35 | | Cả hai | 0,25 | | Chỉ bóng bàn | 0,40−0,25=0,15 | | Không chơi môn nào trong hai môn | 1−0,75=0,25 | Xác suất chơi ít nhất một môn là 0,60+0,40−0,25=0,75. Xác suất chơi đúng một môn là 0,35+0,15=0,50. Hai yêu cầu không có cùng kết quả.

Hai biến cố xung khắc

A,B xung khắc, P(A)=0,2, P(B)=0,3. Tính P(A∪B).

APhần giao bằng 0 nên P(A∪B)=0,2+0,3=0,5.B$P(A\cup B)=0{,}2\cdot0{,}3=0{,}06$.C$P(A\cup B)=0{,}2+0{,}3-1=-0{,}5$.D$P(A\cup B)=1-0{,}2-0{,}3=0{,}5$.

Tìm phần giao

P(A)=0,5, P(B)=0,4, P(A∪B)=0,7. Tìm P(A∩B).

A$P(A\cap B)=0{,}5+0{,}4=0{,}9$.BP(A∩B)=0,5+0,4−0,7=0,2.C$P(A\cap B)=0{,}7-0{,}5=0{,}2$ vì bỏ qua $P(B)$.D$P(A\cap B)=0{,}5\cdot0{,}4=0{,}2$ vì A và B độc lập.

Không xảy ra biến cố nào

Với dữ kiện câu trước, tính xác suất cả A và B đều không xảy ra.

AXác suất bằng $1-0{,}2=0{,}8$.BĐó là biến cố đối của A∪B, nên xác suất 1−0,7=0,3.CXác suất bằng $(1-0{,}5)(1-0{,}4)=0{,}3$ vì A và B độc lập.DXác suất bằng $1-0{,}5-0{,}4=0{,}1$.

Xung khắc chưa chắc đối nhau

Gieo xúc xắc. A là ra 1, B là ra 2. Hai biến cố xung khắc có phải luôn là hai biến cố đối không?

AKhông. A và B không cùng xảy ra nhưng chưa bao hết Ω; vẫn có 3,4,5,6. Hai biến cố đối vừa xung khắc vừa có hợp bằng Ω.BCó, vì hai biến cố xung khắc luôn là hai biến cố đối.CCó, vì A và B có cùng xác suất $1/6$.DKhông, vì A và B vẫn có thể cùng xảy ra khi gieo xúc xắc.

Điều cần nhớ

Hợp là ít nhất một, giao là cả hai. Chỉ cộng hai xác suất khi đã biết phần giao bằng 0; nếu không, dùng công thức có trừ giao.