Độc lập và công thức nhân xác suất

Biết một kết quả có làm thay đổi khả năng kia?

Hai biến cố độc lập khi việc một biến cố xảy ra hay không xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. Khi đó: $$P(A\cap B)=P(A)P(B).$$ Đẳng thức này cũng là điều kiện kiểm tra độc lập từ số liệu. Không suy ra độc lập chỉ vì hai sự việc mang tên khác nhau. Với mô hình đời sống, đề cần cho hoặc nêu giả thiết độc lập phù hợp. Nếu A,B độc lập thì A và biến cố đối của B cũng độc lập; tương tự với hai biến cố đối.

Cả hai và đúng một

Hai người thực hiện riêng hai lượt ném, giả sử kết quả độc lập. Xác suất thành công của An là 0,6, của Bình là 0,8. Cả hai thành công: 0,6·0,8=0,48. Đúng một người thành công có hai trường hợp không trùng: An thành công, Bình không thành công, xác suất 0,6·0,2=0,12; hoặc An không thành công, Bình thành công, xác suất 0,4·0,8=0,32. Tổng 0,12+0,32=0,44. Ít nhất một người thành công: 1−0,4·0,2=0,92. Không nhầm kết quả này với “đúng một”.

Nhân khi đã có độc lập

A,B độc lập, P(A)=0,4 và P(B)=0,7. P(A∩B) bằng

A1,1B0,3C0,28D0,56

Kiểm tra từ xác suất đã biết

Cho P(A)=0,5, P(B)=0,4 và P(A∩B)=0,1. Ta tính P(A)P(B)=0,2, khác 0,1, nên hai biến cố không độc lập. Nếu hai biến cố xung khắc và cả hai xác suất đều dương, phần giao bằng 0 nhưng tích hai xác suất dương. Vì vậy chúng không độc lập. “Không thể cùng xảy ra” khác với “không ảnh hưởng đến xác suất của nhau”.

Có hoàn lại và không hoàn lại

Hai sơ đồ rút thẻ: có hoàn lại giữ hộp 3 đỏ 2 xanh ở lần hai, không hoàn lại sau khi rút đỏ còn 2 đỏ 2 xanh. — Hoàn lại giữ nguyên thành phần hộp; không hoàn lại làm xác suất ở lần sau phụ thuộc kết quả trước.

Hộp có 3 viên đỏ, 2 viên xanh. Nếu rút một viên, trả lại và trộn đều rồi rút tiếp, với các lần rút ngẫu nhiên độc lập, xác suất đỏ ở cả hai lần là (3/5)²=9/25. Nếu không hoàn lại, sau khi rút một viên đỏ thì hộp chỉ còn 2 đỏ trong 4 viên. Không được tiếp tục dùng 3/5 như cũ. Có thể đếm nhóm: xác suất cả hai đỏ là $C_3^2/C_5^2=3/10$. Phần Xác suất có điều kiện sẽ viết sự thay đổi này thành công thức nhân tổng quát và sơ đồ cây.

Hai biến cố đối

A,B độc lập, P(A)=0,3, P(B)=0,5. Tính xác suất cả hai đều không xảy ra.

A(1−0,3)(1−0,5)=0,7·0,5=0,35.BXác suất bằng $1-0{,}3-0{,}5=0{,}2$.CXác suất bằng $0{,}3\cdot0{,}5=0{,}15$.DXác suất bằng $(1-0{,}3)+(1-0{,}5)=1{,}2$.

Ít nhất một

Với dữ kiện câu trước, tính P(A∪B).

A$P(A\cup B)=0{,}3+0{,}5=0{,}8$.B$P(A\cup B)=0{,}3\cdot0{,}5=0{,}15$.C1−0,35=0,65; cũng bằng 0,3+0,5−0,15.D$P(A\cup B)=1-0{,}15=0{,}85$.

Cùng một xác suất có đủ không?

P(A)=P(B)=0,5 có đủ để kết luận độc lập không?

ACó, hai biến cố có cùng xác suất thì độc lập.BKhông. Còn phải biết phần giao bằng 0,25 hay không. Chẳng hạn A=B với xác suất 0,5 thì giao có xác suất 0,5, không độc lập.CCó, vì $0{,}5+0{,}5=1$.DKhông, hai biến cố cùng xác suất thì chắc chắn trùng nhau.

Ba lần thử độc lập

Một phép thử có xác suất thành công 0,8 mỗi lần. Ba lần thử độc lập với nhau. Tính xác suất thành công cả ba lần.

AXác suất bằng $3\cdot0{,}8=2{,}4$.BXác suất bằng $0{,}8+0{,}8+0{,}8-2=0{,}4$.C0,8³=0,512. Giả thiết độc lập của các lần thử cho phép nhân ba xác suất.DXác suất bằng $1-0{,}2^3=0{,}992$.

Điều cần nhớ

Muốn lấy tích các xác suất riêng, phải có độc lập. Đúng một thì chia trường hợp; ít nhất một thường dùng biến cố đối. Rút không hoàn lại cần cập nhật dữ kiện hoặc đếm trực tiếp.