Thứ tự làm thay đổi kết quả
Xếp A,B,C thành hàng: ABC khác BAC. Khi dùng đủ n đối tượng phân biệt, mỗi thứ tự là một **hoán vị**. Vị trí đầu có n cách, tiếp theo n−1 cách,… nên:
$$P_n=n!=n(n-1)\cdots2\cdot1.$$
Kí hiệu n! đọc là n giai thừa; quy ước 0!=1. Đây là công thức xếp theo hàng với các đối tượng phân biệt, không tự áp dụng cho đồ vật giống nhau hoặc cách xếp quanh bàn tròn.
Xếp sách thành hàng
Xếp 5 cuốn sách khác nhau vào 5 vị trí trên một hàng. Số cách là 5·4·3·2·1=5!=120.
Nếu một cuốn đã được chỉ định phải đứng đầu, chỉ còn xếp 4 cuốn vào 4 chỗ: 4!=24 cách. Không nhân thêm 5 vì cuốn đứng đầu đã được ấn định.
Xếp đủ bốn người
Có bao nhiêu cách xếp 4 người khác nhau vào một hàng 4 chỗ?
Sau mỗi vị trí, số người còn lại giảm đi.
$12$ chưa đếm đủ bốn vị trí.
$4$ chỉ là số cách chọn người đứng đầu.
Đúng: đây là số hoán vị của bốn người.
Lời giải
$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$.
Chọn rồi xếp một phần
Chọn k đối tượng khác nhau từ n đối tượng phân biệt và xếp theo thứ tự gọi là một **chỉnh hợp chập k của n**. Với 1≤k≤n:
$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$
Tích tương ứng có k thừa số giảm dần, từ n đến n−k+1. Số k trong kí hiệu không phải số mũ của một phép lũy thừa. Nếu k=n, ta trở lại hoán vị.
Hai nhiệm vụ khác nhau
Từ 6 người, chọn một người thuyết trình và một người ghi chép, không kiêm nhiệm.
Người thuyết trình có 6 cách; với mỗi cách, người ghi chép còn 5 cách. Tổng 6·5=30, tức $A_6^2$.
Đổi nhiệm vụ của hai người tạo một kết quả khác nên phải xét thứ tự vai trò, dù đề không dùng từ “xếp”.
Tính chỉnh hợp
Giá trị của $A_5^2$ là
Đã chia sai cho $2!$.
Đúng: chọn và xếp hai phần tử khác nhau.
$25$ cho phép lặp phần tử.
$120$ là số hoán vị của cả năm phần tử.
Lời giải
$A_5^2=5\cdot4=20$: vị trí đầu có 5 lựa chọn, vị trí sau còn 4.
Một vị trí cố định
Xếp 6 người thành hàng, An phải đứng cuối. Có bao nhiêu cách?
$6!$ chưa dùng điều kiện vị trí của An.
Đúng: cố định An rồi xếp năm người còn lại.
$4!$ còn thiếu một người.
$6$ chỉ là số vị trí trước khi cố định.
Lời giải
Cố định An ở cuối, chỉ còn hoán vị 5 người vào năm vị trí còn lại. Số cách là $5!=120$.
Ba giải khác nhau
Có 7 đội, trao giải nhất, nhì, ba cho ba đội khác nhau. Có bao nhiêu kết quả trao giải?
$C_7^3=35$ chưa phân biệt thứ hạng.
Đúng: thứ tự nhất, nhì, ba làm thay đổi kết quả.
$7^3$ cho phép một đội nhận nhiều giải.
Mới đếm chưa đủ ba vị trí.
Lời giải
Ba giải là ba vị trí phân biệt, nên số kết quả là $A_7^3=7\cdot6\cdot5=210$.
Mã cho phép lặp
Mã gồm 3 chữ lấy từ $A,B,C,D$ và được phép lặp. Số mã là
$A_4^3=24$ chỉ phù hợp khi ba chữ khác nhau.
Đúng: áp dụng quy tắc nhân với phép lặp.
Phương án này chưa đếm đủ các vị trí.
$4$ chỉ là số lựa chọn cho một vị trí.
Lời giải
Mỗi trong ba vị trí đều có 4 lựa chọn, nên có $4^3=64$ mã. Không dùng $A_4^3$ vì chỉnh hợp không cho lặp phần tử.
Điều cần nhớ
Có thứ tự và không lặp: xếp đủ dùng hoán vị, chọn rồi xếp một phần dùng chỉnh hợp. Đọc các vai trò và vị trí để xác định thứ tự.
Đang học