Hiểu giới hạn của dãy số

Với uₙ=1/n, các giá trị 1;0,1;0,01;0,001 ứng với n=1,10,100,1000 cho thấy uₙ gần 0 dần. Nói uₙ→L khi n→+∞ nghĩa là khoảng cách |uₙ−L| có thể nhỏ hơn bất kì số dương nào cho trước, kể từ một chỉ số đủ lớn trở đi. Ta viết $\lim_{n\to+\infty}u_n=L$; khi đã rõ chỉ số, có thể viết gọn lim uₙ=L. Giới hạn không bắt buộc là một số hạng của dãy. Với 1/n, không số hạng nào bằng 0 nhưng giới hạn vẫn là 0.

Dãy hằng c có giới hạn c. Với k nguyên dương, 1/nᵏ→0. Với |q|<1, qⁿ→0, kể cả q âm. Nếu |uₙ|≤vₙ và vₙ→0 kể từ một chỉ số nào đó thì uₙ→0. Ví dụ $|(-1)^n/n|=1/n\to0$, nên (−1)ⁿ/n→0 dù các số hạng đổi dấu. Dãy uₙ→+∞ khi các số hạng vượt mọi mức dương cho trước kể từ một chỉ số đủ lớn; uₙ→−∞ khi −uₙ→+∞. Các kí hiệu vô cực mô tả xu hướng, không phải số thực để thay vào phép tính.

Giới hạn nói về mọi số hạng đủ xa, không chỉ vài số đầu. Nhìn cả độ lớn lẫn dấu; không coi ∞ là số để thay trực tiếp.